带上绳索的圆锥

葡萄糖

wayne 发表于 2014-6-30 22:45
好像是那么回事。
是直觉 还是 有什么依据？

yinhow 发表于 2014-6-30 22:29
圆锥摊平后是直线

例2.4.7求圆锥面上的短程线方程。顶角为\(2\varphi\)甲的圆锥面上有两个任意给定的端点\(A\)与\(B\)，其中\(\varphi\)为圆锥母线与 轴的夹角。
解：取球坐标\(\left( {r,\theta ,\varphi } \right)\)。因\(\varphi＝常数\)，故弧微分为：
\[{\left( {ds} \right)^2} + {\left( {dr} \right)^2} = {\left( {r\sin \varphi d\theta } \right)^2}\]
\(A,B\)两点间的弧长为泛函：
\[M = \int_A^B {ds}  = \int_{{\theta _A}}^{{\theta _B}} {\sqrt {r{\prime ^2} + {{\left( {r\sin \varphi } \right)}^2}} d\theta } \]
泛函的欧拉方程为：
\[\frac{{r{{\sin }^2}\varphi }}{{\sqrt {r{\prime ^2} + {{\left( {r\sin \varphi } \right)}^2}} }} - \frac{d}{{d\theta }}\frac{{r\prime }}{{\sqrt {r{\prime ^2} + {{\left( {r\sin \varphi } \right)}^2}} }} = 0\]
运算后得
\[\frac{{{r^3}{{\sin }^4}\varphi  - r\prime \prime {{\left( {r\sin \varphi } \right)}^2} + 2rr{\prime ^2}{{\sin }^2}\varphi }}{{{{\left[ {r{\prime ^2} + {{\left( {r\sin \varphi } \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}} = 0\]
显然上式的分母不为零，\(r\)也不为零，故欧拉方程可化成：
\[2r{\prime ^2} + {\left( {r\sin \varphi } \right)^2} - rr\prime \prime  = 0\]
令\(u = \frac{1}{r}\)，\(\psi  = \theta \sin \varphi \)，则有\(du =  - \frac{{dr}}{{{r^2}}}\)，\(d\psi  = \sin \varphi d\theta \)，
于是：
\[\begin{gathered}
  u\prime  = \frac{{du}}{{d\psi }} =  - \frac{1}{{{r^2}\sin \varphi }}\frac{{dr}}{{d\theta }} =  - \frac{{r\prime }}{{{r^2}\sin \varphi }} &  & r\prime  = \frac{{u\prime \sin \varphi }}{{{u^2}}} \\
  u\prime \prime  = \frac{{{d^2}u}}{{d{\psi ^2}}} = \frac{{du\prime }}{{d\psi }} =  - \frac{{{r^2}r\prime \prime d\theta  - r\prime \left( {2rr\prime d\theta } \right)}}{{{r^4}\sin \varphi }}\frac{1}{{\sin \varphi d\theta }} =  - \frac{{rr\prime \prime  - 2r{\prime ^2}}}{{{r^3}{{\sin }^2}\varphi }} \\
  rr\prime \prime  =  - \frac{{u\prime \prime {{\sin }^2}\varphi }}{{{u^3}}} + 2\frac{{u{\prime ^2}{{\sin }^2}\varphi }}{{{u^4}}} \\
\end{gathered} \]
将\(r\prime \)和\(rr\prime \prime \)表达式代人欧拉方程，得
\[u\prime \prime  + u = 0\]
其解为
\[u = {c_1}\cos \psi  + {c_2}\sin \psi \]
或\[\frac{1}{r} = {c_1}\cos \left( {\theta \sin \varphi } \right) + {c_2}\sin \left( {\theta \sin \varphi } \right)\]
这就是所要求的在圆锥曲面上的短程线方程。其中积分常数\({c_1}\)和\({c_1}\)通过\(A\)、\(B\)两端点位置确定。\(如果把r和\psi 看成极坐标，则这条短程线就是这个坐标系中的一条\color{red}{\large{直线}}。\)