求方程\(x^2-10y^3=1\)的所有整数解

cn8888

求\(x^2-10y^3=1\)的所有整数解.
并尽可能地是所有的整数解!

cn8888

断网之后,重新恢复网络,也许你求解后有一点小小的意外

cn8888

原本发短信给gxqcn,让他发到论坛上的,但是他还是让我自己发上来的

liangbch

对于$2^32$以内的x，我仅仅找到3个解。我没有什么好方法，不得不使用穷举法。

x=1,y=0
x=9,y=2
x=13719,y=266

mathe

http://mathoverflow.net/questions/6676/integer-points-of-an-elliptic-curve

cn8888

y^2=10x^3+1
得到
100y^2=1000x^3+100
(10y)^2=(10x)^3+100
http://mathoverflow.net/question ... iptic-curve-y2-x317

http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/
代码:a2:=EllipticCurve([0,0,0,0,100]); IntegralPoints(a2);
结果:
[ (-4 : -6 : 1), (0 : 10 : 1), (5 : 15 : 1), (20 : -90 : 1), (24 : 118 : 1),
(2660 : -137190 : 1) ]
[ <(-4 : -6 : 1), 1>, <(0 : 10 : 1), 1>, <(5 : 15 : 1), 1>, <(20 : -90 : 1), 1>,
<(24 : 118 : 1), 1>, <(2660 : -137190 : 1), 1> ]

cn8888

cn8888 发表于 2014-7-4 14:36
y^2=10x^3+1
得到
100y^2=1000x^3+100

不知道程序为什么没给出x=-9,y=2这组解答x=9,y=2都是方程的解答呀
难道是bug????

kastin

变形得`(x+1)(x-1)=10y^3`，由于`x+1`与`x-1`是同奇偶的，等式右边为偶数，故x必为奇数。

进一步，`x^2 \equiv 10y^3+1 \equiv1 \pmod{10}`，解得`x\equiv \pm 1 \pmod{10}`，即$$x=10k\pm1 \quad(k=\pm1,\pm2,...)\tag{1}$$显然(1)满足奇数条件。

而`x^2\equiv 1 \pmod{y}`，`x^2\equiv 1 \pmod{y^2}`，`x^2\equiv 1 \pmod{y^3}`
说明$$y \nmid x，y^3 \nmid x^2\tag{2}$$

将(1)式代入原方程，有`10y^3 = 2^25k(5k\pm1)`，故`2k(5k \pm 1)=y^3`，因此`y`必为偶数。

目前只能止于此。

cn8888

kastin 发表于 2014-7-4 17:26
变形得`(x+1)(x-1)=10y^3`，由于`x+1`与`x-1`是同奇偶的，等式右边为偶数，故x必为奇数。

进一步，`x^2  ...

同于对于这类问题,通常是无力的,因为这类
不定方程通常只有有限组解答,
而同余所表达的意思都是无穷组解答,
因此同余是无力的

cn8888

cn8888 发表于 2014-7-4 14:36
y^2=10x^3+1
得到
100y^2=1000x^3+100

@mathe
(20: -90: 1)
但是
(20: 90: 1)这组解答为什么没有呢?