\(a^4+b^4+1=c^4\)有整数解吗?

cn8888

\(a^4+b^4+1=c^4\)
有非平凡的整数解吗?
很好奇,似乎没有! 我用mathematica没找到整数解,因此我猜测不存在整数解
谁能给出一个实例，或者证明不存在呢？

282842712474

如果真的不存在的话，可以先研究$a^2+b^2+1=c^2$的通解，然后用无穷递降法试试证明。

282842712474

282842712474 发表于 2014-7-17 21:08
如果真的不存在的话，可以先研究\(a^2+b^2+1=c^2\)的通解，然后用无穷递降法试试证明。

利用四元数，应该可以给出方程\(x^2+y^2+z^2+w^2=u^2\)的通解。
\begin{aligned}
&(p^2+q^2+s^2+t^2)^2\\
=&|p+q\rm{i}+s\rm{j}+t\rm{k}|^4\\
=&|(p^2-q^2-s^2-t^2)+(2pq)\rm{i}+(2ps)\rm{j}+(2pt)\rm{k}|^2\\
=&(p^2-q^2-s^2-t^2)^2+(2pq)^2+(2ps)^2+(2pt)^2
\end{aligned}

如果这是通解的话（待证明），那么\(x^2+y^2+z^2=u^2\)的通解便是
\begin{aligned}
&(p^2+q^2+s^2)^2\\
=&(p^2-q^2-s^2)^2+(2pq)^2+(2ps)^2
\end{aligned}

要求\(a^2+b^2+1=c^2\)的通解，只能是\(|p^2-q^2-s^2|=1\)，因为剩下两个都是偶数。好吧，如果\(a^4+b^4+1=c^4\)有解的话，那么必然存在
\begin{aligned}
|p^2-s^2-t^2|&=1\\
2ps&=a^2\\
2pt&=b^2\\
p^2+s^2+t^2&=c^2
\end{aligned}
条件之一是 \[2p^2\pm 1=c^2\]
也就是只需要到pell方程的解集里边寻找~~

暂时不知道此路通不通~~~

kastin

282842712474 发表于 2014-7-17 21:17
利用四元数，应该可以给出方程\(x^2+y^2+z^2+w^2=u^2\)的通解。
\begin{aligned}
&(p^2+q^2+s^2+t^2) ...

你给出的恒等式$$\begin{aligned}
&(p^2+q^2+s^2)^2\\
=&(p^2-q^2-s^2)^2+(2pq)^2+(2ps)^2
\end{aligned}$$对于求解不定方程`x^2+y^2+1=u^2`很有用，可以得到下列结论：
1. 若已知上述不定方程的一组解`(x_0,y_0,u_0)`，令
$$\begin{aligned}
x_1&=2x_0u_0\\
y_1&=2y_0u_0\\
u_1&=x_0^2+y_0^2+u_0^2
\end{aligned}$$那么`(x_1,y_1,u_1)`为一组新的解.

2. 若已知不定方程`a^2+b^2-1=c^2`的一组正整数解`(a_0,b_0,c_0)`，令
$$\begin{aligned}
x_1&=2a_0c_0\\
y_1&=2b_0c_0\\
u_1&=a_0^2+b_0^2+c_0^2
\end{aligned}$$那么`(x_1,y_1,u_1)`为不定方程`x^2+y^2+1=u^2`的一组解.

若`(x_0,y_0,z_0)`和`(a_0,b_0,c_0)`无法通过某个解由上述变换方式得到，则称之为相应不定方程的“基本解”，而由基本解通过上述变换得到的新解，称为“衍生解”或者“生成解”。也就是说，上述两种变换方式能生成不定方程`x^2+y^2+1=u^2`的无数组解，但并不能保证全部遍历，除非能不遗漏地获取所有基本解。

282842712474

kastin 发表于 2014-7-18 16:54
你给出的恒等式$$\begin{aligned}
&(p^2+q^2+s^2)^2\\
=&(p^2-q^2-s^2)^2+(2pq)^2+(2ps)^2

我本来想仿照$x^4+y^4=z^2$无解的证法来证明楼主的题目无解，但是出现了问题。
原因是一般的勾股数通解中，$x=|p^2-q^2|,y=2pq,z=p^2+q^2$，这样子在x中p,q实际上是对称的，只有一种情况。
但是在这个通解中，$x=|p^2-s^2-t^2|$，p,s,t则是不对称的，有多种情况需要考虑，无穷递降法好像不成立。

282842712474

282842712474 发表于 2014-7-18 17:17
我本来想仿照$x^4+y^4=z^2$无解的证法来证明楼主的题目无解，但是出现了问题。
原因是一般的勾股数通解 ...

或许可以联合证明$a^4+b^4\pm 1=c^4$无解

kastin

刚刚通过Mathematica发现，若不定方程`a^2+b^2−1=c^2`不存在`a>1`且`b>1`的解，那么所有这个不定方程所有基本解的形式必然是`(1,n,n)`，这里的`n`可以取任何非负整数。这些解通过4楼中的变换可以得到新的衍生解（且互不重合），衍生解可继续变换得到新的衍生解，如此能遍历不定方程`x^2+y^2+1=u^2`所有的解。

1. Labeled[Grid[
   
2.   MapThread[
   
3.    Prepend, {Prepend[
   
4.      Partition[
   
5.        Table[RecurrenceTable[{a[n + 1] == 2 c[n] a[n],
   
6.           b[n + 1] == 2 c[n] b[n],
   
7.           c[n + 1] == c[n]^2 + a[n]^2 + b[n]^2, a[1] == 1, b[1] == i,
   
8.           c[1] == i}, {a, b, c}, {n, 1, 5}], {i, 0, 4}], 5] //
   
9.       ArrayFlatten,
   
10.      Table[{"n=" <> ToString[n], SpanFromLeft, SpanFromLeft}, {n, 0,
    
11.         4}] // Flatten], {"类别", "基本解", "衍生解", SpanFromAbove,
    
12.      SpanFromAbove, SpanFromAbove}}],
    
13.   Alignment -> {Center, Center, {{{2, 6}, {5, 16}} -> Left}},
    
14.   Dividers -> {{True, True, {False, False, True}}}, Frame -> All,
    
15.   Background -> {None,
    
16.     None, {{{2, 2}, {2, 16}} -> LightRed, {{3, 6}, {2, 16}} ->
    
17.       LightPurple}}],
    
18. ToExpression["不定方程x^2+y^2+1==u^2的解(x,y,u)", TraditionalForm], Top]

复制代码

l4m2

你只找到0,0,+/-1吗

kastin

l4m2 发表于 2014-7-18 22:26
你只找到0,0,+/-1吗

我想当然了，只是依赖Mathematica，没用数值搜索。刚刚用数值搜索一下，发现了很多基本解（特点是x0,y0中至少有一个奇数）

( 4,  7,  8)

( 5,  5,  7)

( 6, 17, 18)

( 7, 11, 13)

( 8,  9, 12)

( 8, 31, 32)

( 9, 19, 21)

(10, 15, 18)

(10, 49, 50)

(11, 13, 17)

(11, 29, 31)

(12, 71, 72)

(13, 19, 23)

(13, 41, 43)

(14, 17, 22)

(14, 31, 34)

(14, 97, 98)

(15, 26, 30)

(15, 55, 57)

(16, 23, 28)

(16, 41, 44)

(17, 21, 27)

(17, 34, 38)

(17, 71, 73)

(19, 27, 33)

(19, 43, 47)

(19, 89, 91)

(20, 25, 32)

(20, 65, 68)
……
以上基本解与7楼给出的基本解是不一样的，可以继续求衍生解。要是能找到一种方法给出通解满足存在奇数的情况即可，毕竟那个代换中2ps,2pt都是偶数。要是能给出一个通项含有奇数形式，变能将上面这些数值搜索出来的基本解给找到了。

wayne

kastin 发表于 2014-7-19 12:02
我想当然了，只是依赖Mathematica，没用数值搜索。刚刚用数值搜索一下，发现了很多基本解（特点是x0,y0中 ...

关于 $x^2+y^2-1=c^2$, 曾经有我的五味杂陈的记忆，为了追这个projecteuler的题目，当年的我翘课，在机房泡了一个上午。

http://projecteuler.net/problem=223