\(a^4+b^4+1=c^4\)有整数解吗?

l4m2

你只找到0,0,+/-1吗

kastin

l4m2 发表于 2014-7-18 22:26
你只找到0,0,+/-1吗

我想当然了，只是依赖Mathematica，没用数值搜索。刚刚用数值搜索一下，发现了很多基本解（特点是x0,y0中至少有一个奇数）

( 4,  7,  8)

( 5,  5,  7)

( 6, 17, 18)

( 7, 11, 13)

( 8,  9, 12)

( 8, 31, 32)

( 9, 19, 21)

(10, 15, 18)

(10, 49, 50)

(11, 13, 17)

(11, 29, 31)

(12, 71, 72)

(13, 19, 23)

(13, 41, 43)

(14, 17, 22)

(14, 31, 34)

(14, 97, 98)

(15, 26, 30)

(15, 55, 57)

(16, 23, 28)

(16, 41, 44)

(17, 21, 27)

(17, 34, 38)

(17, 71, 73)

(19, 27, 33)

(19, 43, 47)

(19, 89, 91)

(20, 25, 32)

(20, 65, 68)
……
以上基本解与7楼给出的基本解是不一样的，可以继续求衍生解。要是能找到一种方法给出通解满足存在奇数的情况即可，毕竟那个代换中2ps,2pt都是偶数。要是能给出一个通项含有奇数形式，变能将上面这些数值搜索出来的基本解给找到了。

wayne

kastin 发表于 2014-7-19 12:02
我想当然了，只是依赖Mathematica，没用数值搜索。刚刚用数值搜索一下，发现了很多基本解（特点是x0,y0中 ...

关于 $x^2+y^2-1=c^2$, 曾经有我的五味杂陈的记忆，为了追这个projecteuler的题目，当年的我翘课，在机房泡了一个上午。

http://projecteuler.net/problem=223

wayne

算不上什么高效算法。就是对于每一个给定的$a$，或者$b$,对$a^2-1$进行因式分解。分解成的因子对就是$c-b,c+b$

$a^2+b^2=c^2+-1$都是一样的，复杂度等同于整数的因子分解。

wayne

Mathematica代码：

1. Flatten[Table[t = Divisors[ii^2 - 1];
   
2.   Drop[Select[
   
3.     Table[Function[{v, u}, {(u - v)/2, ii, (u + v)/2}][
   
4.       jj, (ii^2 - 1)/jj], {jj, Take[t, Quotient[Length[t], 2]]}],
   
5.     Last[#] \[Element] Integers &], -1], {ii, 2, 100}], 1]

复制代码

1. {7,4,8}
   
2. {5,5,7}
   
3. {17,6,18}
   
4. {11,7,13}
   
5. {4,7,8}
   
6. {31,8,32}
   
7. {9,8,12}
   
8. {19,9,21}
   
9. {8,9,12}
   
10. {49,10,50}
    
11. {15,10,18}
    
12. {29,11,31}
    
13. {13,11,17}
    
14. {7,11,13}
    
15. {71,12,72}
    
16. {41,13,43}
    
17. 
    
18. ...
    

复制代码

无心人

针对
\( a^2 + b^2 + 1 = c^2 \)
找到一组通解
\( a = 2k, b = 2k^2, c=2k^2+1  \)

cn8888

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. Do[c=(a^2+b^2-1)^(1/2);If[IntegerQ@c,Print[{a,b,c}]],{a,2,1000},{b,a,1000}]
   

复制代码

求解\(a^2+b^2-1=c^2\)的代码,结果如下:

最弱智的办法就是最好的办法

cn8888

wayne 发表于 2014-7-19 15:24
Mathematica代码：

很奇怪,你是如何如何做到把计算结果所在的行全部删除的?
我用下拉拖动的办法弄了半天.
后来想到一个好办法,
不知道你是如何解决的????????

wayne

对于$a^2+b^2=c^2-1$，将12#的代码稍作改动，即可产生$b<=10^6$的全部解（非递推衍生，通过因式分解），有$2248542$组。




过滤三种特殊形式：

1)  $a+1=c$, 即 ${2k^2,2k,2k^2+1}$
1)  $b+1=c$, 即 ${2k,2k^2,2k^2+1}$
2)  $a=b$ 这种情况是pell方程。有递推公式 $a_n = 6a_{n-1} - a_{n-2}$  http://oeis.org/A001542

过滤后的解：
{18,30,35}
{22,46,51}
{28,76,81}
{32,100,105}
{34,38,51}
{38,142,147}
{42,174,179}
{44,68,81}
{48,228,233}
{52,268,273}
{58,334,339}
{60,132,145}
{62,382,387}
{64,112,129}
{68,80,105}
{68,460,465}
{70,182,195}
{72,144,161}
{72,516,521}
{78,606,611}



谁有兴趣 找找这剩下的部分的规律。

无心人

{18,30,35}
{22,46,51}
{28,76,81}
{32,100,105}
{38,142,147}
{42,174,179}
{48,228,233}
{52,268,273}
{58,334,339}
第一个数在交替以4, 6的差递增，第二个跟第三个差5