正整数对求解

northwolves

求所有满足条件$(a+2b)^2(2ab-b^2)=a(a+b)^2$正整数对$(a,b)$

wayne

这个貌似可以分析。
首先如果  (a,b) = 1，那么 a+2b,a+b,2a-b, a,b两两互质、
如果(a,b)!=1. 那么，设为k,代进去，然后又可以根据互质 可以配对联立一个方程组。。。

sunwukong

\(\D(a+2b)^2(2ab-b^2)=a(a+b)^2\)

\(b(a+2b)^2(2a-b)=a(a+b)^2\)

设 \(a=c-b\)，代入原式，得

\(b(c+b)^2(2c-3b)=(c-b)c^2\)

\(b[(c+b)^2(2c-3b)+c^2]=c^3\)

所以 ， \(b\) 是 \(c\) 的一个因子，

设 \(c=kb\)，其中，\(k\) 是正整数，代入，得

\(b=\frac{k^2(k-1)}{(k+1)^2(2k-3)}\)

因为 \(c=a+b\)，所以 \(k>=2\)，而此时

\(b=\frac{k^2(k-1)}{(k+1)^2(2k-3)}<=4/9\)

与 \(b\) 是正整数矛盾，所以原式无正整数解

hujunhua

有一点点漏洞：\(b|c^3\nRightarrow b|c\),在没有 \(b\)是质数的条件时.

但思路不錯，可以简化，没必要设一个\(c\)出来。

两边模b可得\(0\equiv  a^3\pmod b\), \(\Rightarrow a\equiv  0\pmod b\)

令\(a=kb,(k\ge1)\)代入得

\(b(k+2)^2(2k-1)=k(k+1)^2\),即

\(\D b=\frac{k(k+1)^2}{(k+2)^2(2k-1)}=\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^2\left(\frac{k}{2k-1}\right)<1\)

当然，漏洞依旧：\(b|a^3\nRightarrow b|a\),在没有 \(b\)为质数的条件时.

kastin

非齐次方程，左边度数是4，右边是3，说明左边含有一个常数因式，即存在满足形如`k\*a-r\*b=\text{const}`的关系式。

hujunhua

但是3#的证明是可以挽救的。设\(d=\gcd(a,b)\), 令\(a=dA, b=dB\) ,则\(\gcd(A,B)=1\)，代入可得

\(d(A+2B)^2(2AB-B^2)=A(A+B)^2\)

两边模B可得\(0\equiv  A^3\pmod B\), 由于\(\gcd(A,B)=1\)，故必有\(B=1, b=d\)，代入上式可得

\(b(A+2)^2(2A-1)=A(A+1)^2\),即

\(\D b=\frac{A(A+1)^2}{(A+2)^2(2A-1)}=\left(\frac{A+1}{A+2}\right)^2\left(\frac{A}{2A-1}\right)<1\)

hujunhua

4#说\(b|c^3\nRightarrow b|c\),在没有 \(b\)为质数的条件时，可是6#又导出了\(a=bA\). 这魔术是咋变出来的呢，悟空？

282842712474

没有正整数解。证明如下：
首先，我们将$(a+2b)^2 (2ab-b^2)=a(a+b)^2$改写成
$$a^2 (a+2b)^2=a(a+b)^2 +(a-b)^2 (a+2b)^2$$
将它看成是方程$ax^2+y^2=z^2$的一组解，该方程的通解是$x=2mn,y=|m^2-an^2|,z=m^2+an^2$，那么，存在整数$m,n$，使得
$$\begin{aligned}a(a+2b)&=m^2+an^2\\
a+b&=2mn\\
|a-b|(a+2b)&=|m^2-an^2|
\end{aligned}$$

由此得a、b同为奇数或者同为偶数。分两种情况讨论：
第一种：
$(a-b)(a+2b)=m^2-an^2$，结合$a(a+2b)=m^2+an^2$可以整理得$(2a-b)(2b+a)=2m^2$，由此得$a,b$不可能同时为奇数。那么设$a=2\alpha,b=2\beta$，代入整理就有$2(2\alpha -\beta)(2\beta +\alpha)=m^2$，由此得$m$是偶数，设$m=2m_1'$，那么$(2\alpha -\beta)(2\beta +\alpha)=2m_1^2$，根据$a+b=2mn$得$\alpha+\beta=2m_1 n$，由此$\alpha,\beta$都是偶数...此过程没有穷尽，矛盾。

第二种：
$(a-b)(a+2b)=an^2-m^2$，结合$a(a+2b)=m^2+an^2$可以整理得$(a+2b)b=2m^2$，由此得$a,b$不可能同时为奇数。那么设$a=2\alpha,b=2\beta$，代入整理就有$2(\alpha+2\beta )\beta=m^2$，由此得$m$是偶数，设$m=2m_1$，那么$(\alpha+2\beta )\beta=2m_1^2$，根据$a+b=2mn$得$\alpha+\beta=2m_1 n$，由此$\alpha,\beta$都是偶数...此过程也没有穷尽，矛盾。

因此不存在正整数解。满足$2^{\infty}|a$的，也只有0了。

sunwukong

\(b[(c+b)^2(2c-3b)+c^2]=c^3\)

所以 ， \(b\) 是 \(c\) 的一个因子，

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因为 \(a=c-b\)，所以， \(b<c\)，
又因为  \((c+b)^2(2c-3b)+c^2>c^2\)

所以 ， \(b\) 是 \(c\) 的一个因子。

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这样，严谨了么??

cn8888

a=-4,b=1是整数解答,两边都是-36