四点共椭圆需要满足什么条件？

倪举鹏

四点共椭圆需要满足什么条件？

zeroieme

任1点都在另外3点构成的三角形外。

BeerRabbit

只要能证明：必然存在一个平面，使得这4点在该平面上的投影构成一个矩形。

cn8888

四点共面,
任意三个点都不在一条直线上,
任意三点组成一个三角形,另外一个点不在这个三角形内部或者边上

cn8888

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
六个参数,
四个点
然后B^2-4*A*C<0
共五个约束,
所以............

hujunhua

充要条件是：可构成凸四边形。

证明如下（必要性显然，略，以下只证明充分性）：

1、凸平行六边形必内接一个椭圆。
2、平行四边形必可内接于一个椭圆。
3、凸四边形若非平行四边形，总可以找到一对相邻内角，之和小于180度。
     以它们所共边的中点为中心，取四边形的反演对称形，可合成一个凸平行六边形（如图）。

hujunhua

请楼主证明一下凸平行六边形必定内接于一个椭圆。

我曾说“因为凸平行六边形总可以射影成一个正六边形”， 这是不充分的，因为仅通过仿射变换并不能将一般的凸平行六边形射成正六边形。

mathe

仿射让ABCD四点共圆

hujunhua

mathe 发表于 2014-9-21 16:02
仿射让ABCD四点共圆

这总是可以办到的。如果不想给出变换公式的话，可以作存在性说明。
通过仿射变换可以连续改变凸四边形的一对相对内角之和，变化范围是\((0,2\pi)\)，所以存在和为\(\pi\) 的成员。

不过这样的存在性说明总是感觉不满意。

hujunhua

终于找到一个比较直观的方法，说明凸平行六边形的外接二次曲线必是椭圆。

通过仿射变换将一个三角形ABC变成A'B'C'的同时，可以将不同于A,B,C的任意点射成像三角形A'B'C'的外心。
在6#的图形中，我们可以将三角形ACD‘进行仿射变换，让M成为像的外心。
这就连带将三角形B'C'D进行了仿射变换，M也是像的外心。
结果就是将源平行六边形射成了一个具有外接圆的像平行六边形。所以源平行六边形具有外接椭圆。

但这还不是我所说的直观说明，直观说明见下图。

可以将平行六边形看作是一个长方体在平面上的平行投影。长方体是有外接球的。
投影方向是截面\(ACD'\)的法向，这使得顶点\(ABCDC'D'\)都在同一个圆柱面上，圆柱面的母圆就是截面\(ACD'\)与长方体外接球的截线。
用来截投影柱的平面就是我们现在图形所处的平面，与投影方向不垂直，所以截得了椭圆。