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[提问] 五定二次曲线的类型判别

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发表于 2014-9-18 18:53:53 | 显示全部楼层 |阅读模式

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给定一个无3点共线的五点形,可以确定一条非退化的二次曲线,即椭圆,抛物线,或者双曲线。
究竟得到椭圆,抛物线,还是双曲线,如何预判?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-9-18 19:02:38 | 显示全部楼层
显然,凹五点形只能得到双曲线,但这只是得到双曲线的充分条件,并非必要。
所以凸五点形是得到椭圆和抛物线的必要但非充分条件。
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发表于 2014-9-18 19:29:22 | 显示全部楼层
边界条件就是五点在一条抛物线上
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发表于 2014-9-19 12:52:34 | 显示全部楼层
实际上四点可以决定一条抛物线。所以存在一个五点共抛物线的判据,不知道怎么描述才对称而简明。

点评

当然。齐次系数需要5个,(ax+by)^2+cx+dy+f=0, 除以一个不为零的就变成4个。  发表于 2014-9-19 15:33
难道一般抛物线的二次曲线表达式只有4个常数?  发表于 2014-9-19 14:45
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发表于 2017-1-24 18:54:05 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2014-9-19 12:52
实际上四点可以决定一条抛物线。所以存在一个五点共抛物线的判据,不知道怎么描述才对称而简明。

不对吧,两条抛物线相交就能有四个交点了。

点评

是的,四点可决定两条抛物线。这不影响楼上的判据说。  发表于 2017-1-24 21:20
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发表于 2022-7-15 16:22:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2022-7-15 16:31 编辑

该问题更一般的推广是斯坦纳圆锥曲线条数问题.

这类问题属于泛代数几何的枚举几何(enumerative geometry)问题.
四个点确定两条抛物线,类似于四个点加上一条切线确定两条圆锥曲线.
想要注意的是,离心率固定的自由度相当于切线固定的自由度,但是不相当于过第五点的自由度.
6373567257247247.png
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发表于 2022-7-16 13:40:40 | 显示全部楼层
记所给五点为`(x_i,y_i),i=1,2,3,4,5`,
5维向量
`a_i=(y_i^2,1,y_i,x_i,x_iy_i)`,
`c_i= (x_i^2,1,y_i,x_i,x_iy_i)`,
`b_i= (x_i^2,y_i^2,1,y_i,x_i)`.
行列式`A=||a_i||,B=||b_i||,C=||c_i||`
判别式`Δ=B^2-4AC`
`Δ`大于,等于,小于零分别对应于椭圆,抛物线和双曲线。
我以前在4#说不知道怎么描述更为对称和简明,意指不知道怎么把`Δ`化为一个大行列式,
或者怎么找到一个仿射几何的判据。

把`Δ`化为一个大行列式,我现在有点路孑了,不知道结果好不好看。
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发表于 2022-7-16 21:49:47 | 显示全部楼层
设$D,E$关于$ABC$的重心坐标分别是 $ D = \alpha A + \beta B + \gamma C $, $E = \lambda A + \mu B + \nu C$, 记
\[p = \frac{{\alpha \lambda (\beta \nu  - \gamma \mu )}}{{\gamma \nu (\alpha \mu  - \beta \lambda )}}, \quad q = \frac{{\beta \mu (\gamma \lambda  - \alpha \nu )}}{{\gamma \nu (\alpha \mu  - \beta \lambda )}}\]
判别式 $ \Delta  = 1 - 2p + p^2 - 2q - 2pq + q^2 $
$ \Delta  < 0$ : 椭圆,  $ \Delta  = 0$ : 抛物线,  $ \Delta  > 0$ : 双曲线.

点评

重心坐标,漂亮!  发表于 2022-7-17 01:46
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发表于 2022-7-17 00:59:18 | 显示全部楼层
creasson 发表于 2022-7-16 21:49
设$D,E$关于$ABC$的重心坐标分别是 $ D = \alpha A + \beta B + \gamma C $, $E = \lambda A + \mu B + \nu ...

那么也可以这样表示。\[
p =\alpha \lambda (\beta \nu  - \gamma \mu ), \quad q = \beta \mu (\gamma \lambda  - \alpha \nu ), \quad r=\gamma \nu (\alpha \mu  - \beta \lambda)
\]判别式\[\Delta=p^2+q^2+r^2 - 2pq -2qr-2rp=\begin{Vmatrix}0&1&1&1\\1&0&p&q\\1&p&0&r\\1&q&r&0\end{Vmatrix}\]
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发表于 2022-7-17 15:14:39 | 显示全部楼层

三坐标变换下的解释

creasson 发表于 2022-7-16 21:49
设$D,E$关于$ABC$的重心坐标分别是 $ D = \alpha A + \beta B + \gamma C $, $E = \lambda A + \mu B + \nu ...


在如此设定的重心坐标下,这条五定二次曲线的方程就是\[
\begin{vmatrix}βγ&γα&αβ\\μν&νλ&λμ\\yz&zx&xy\end{vmatrix}=0,\text{or}\ \begin{vmatrix}α^{-1}&β^{-1}&γ^{-1}\\λ^{-1}&μ^{-1}&ν^{-1}\\x^{-1}&y^{-1}&z^{-1}\end{vmatrix}=0
\]在三坐标反演下,`D(α,β,γ)→D'(α',β',γ')=(α^{-1},β^{-1},γ^{-1}),E(λ,μ,ν)→E'(λ',μ',ν')=(λ^{-1},μ^{-1},ν^{-1})`
这条五定二次曲线变成过`D',E'`两点的直线\[
\begin{vmatrix}α^{-1}&β^{-1}&γ^{-1}\\λ^{-1}&μ^{-1}&ν^{-1}\\x'&y'&z'\end{vmatrix}=0
\]无穷远线变成三点形ABC的同心外接椭圆.
我们知道,原二次曲线的类型由它与无穷远线的位置关系而定,相离为椭圆,相切抛物线,相交双曲线。
在三坐标变换下,无穷远线现形为一个椭圆,原二次曲线现形为一条直线,我们要的分类就由它们两者的位置关系而定了。
神龙现尾.png 神龙现首.png
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