五定二次曲线的类型判别

倪举鹏

给定一个无3点共线的五点形，可以确定一条非退化的二次曲线，即椭圆，抛物线，或者双曲线。
究竟得到椭圆，抛物线，还是双曲线，如何预判？

倪举鹏

显然，凹五点形只能得到双曲线，但这只是得到双曲线的充分条件，并非必要。
所以凸五点形是得到椭圆和抛物线的必要但非充分条件。

mathe

边界条件就是五点在一条抛物线上

hujunhua

实际上四点可以决定一条抛物线。所以存在一个五点共抛物线的判据，不知道怎么描述才对称而简明。

manthanein

hujunhua 发表于 2014-9-19 12:52
实际上四点可以决定一条抛物线。所以存在一个五点共抛物线的判据，不知道怎么描述才对称而简明。

不对吧，两条抛物线相交就能有四个交点了。

葡萄糖

该问题更一般的推广是斯坦纳圆锥曲线条数问题.

这类问题属于泛代数几何的枚举几何(enumerative geometry)问题.
四个点确定两条抛物线，类似于四个点加上一条切线确定两条圆锥曲线.
想要注意的是，离心率固定的自由度相当于切线固定的自由度，但是不相当于过第五点的自由度.

hujunhua

记所给五点为`(x_i,y_i),i=1,2,3,4,5`，
5维向量
`a_i=(y_i^2,1,y_i,x_i,x_iy_i)`,
`c_i= (x_i^2,1,y_i,x_i,x_iy_i)`,
`b_i= (x_i^2,y_i^2,1,y_i,x_i)`.
行列式`A=||a_i||,B=||b_i||,C=||c_i||`
判别式`Δ=B^2-4AC`
`Δ`大于，等于，小于零分别对应于椭圆，抛物线和双曲线。
我以前在4#说不知道怎么描述更为对称和简明，意指不知道怎么把`Δ`化为一个大行列式，
或者怎么找到一个仿射几何的判据。

把`Δ`化为一个大行列式，我现在有点路孑了，不知道结果好不好看。

creasson

设$D,E$关于$ABC$的重心坐标分别是 $ D = \alpha A + \beta B + \gamma C $, $E = \lambda A + \mu B + \nu C$, 记
\[p = \frac{{\alpha \lambda (\beta \nu  - \gamma \mu )}}{{\gamma \nu (\alpha \mu  - \beta \lambda )}}, \quad q = \frac{{\beta \mu (\gamma \lambda  - \alpha \nu )}}{{\gamma \nu (\alpha \mu  - \beta \lambda )}}\]
判别式 $ \Delta  = 1 - 2p + p^2 - 2q - 2pq + q^2 $
$ \Delta  < 0$ : 椭圆,  $ \Delta  = 0$ : 抛物线,  $ \Delta  > 0$ : 双曲线.

hujunhua

creasson 发表于 2022-7-16 21:49
设$D,E$关于$ABC$的重心坐标分别是 $ D = \alpha A + \beta B + \gamma C $, $E = \lambda A + \mu B + \nu ...

那么也可以这样表示。\[
p =\alpha \lambda (\beta \nu  - \gamma \mu ), \quad q = \beta \mu (\gamma \lambda  - \alpha \nu ), \quad r=\gamma \nu (\alpha \mu  - \beta \lambda)
\]判别式\[\Delta=p^2+q^2+r^2 - 2pq -2qr-2rp=\begin{Vmatrix}0&1&1&1\\1&0&p&q\\1&p&0&r\\1&q&r&0\end{Vmatrix}\]

hujunhua

creasson 发表于 2022-7-16 21:49
设$D,E$关于$ABC$的重心坐标分别是 $ D = \alpha A + \beta B + \gamma C $, $E = \lambda A + \mu B + \nu ...

在如此设定的重心坐标下，这条五定二次曲线的方程就是\[
\begin{vmatrix}βγ&γα&αβ\\μν&νλ&λμ\\yz&zx&xy\end{vmatrix}=0,\text{or}\ \begin{vmatrix}α^{-1}&β^{-1}&γ^{-1}\\λ^{-1}&μ^{-1}&ν^{-1}\\x^{-1}&y^{-1}&z^{-1}\end{vmatrix}=0
\]在三坐标反演下，`D(α,β,γ)→D'(α',β',γ')=(α^{-1},β^{-1},γ^{-1})，E(λ,μ,ν)→E'(λ',μ',ν')=(λ^{-1},μ^{-1},ν^{-1})`
这条五定二次曲线变成过`D',E'`两点的直线\[
\begin{vmatrix}α^{-1}&β^{-1}&γ^{-1}\\λ^{-1}&μ^{-1}&ν^{-1}\\x'&y'&z'\end{vmatrix}=0
\]无穷远线变成三点形ABC的同心外接椭圆.
我们知道，原二次曲线的类型由它与无穷远线的位置关系而定，相离为椭圆，相切抛物线，相交双曲线。
在三坐标变换下，无穷远线现形为一个椭圆，原二次曲线现形为一条直线，我们要的分类就由它们两者的位置关系而定了。