算算这个摆的运动方程

kastin

观察拉格朗日函数，可知其不含广义坐标 `x`（不显含的广义坐标被称为循环坐标） ，故 `\partial L/\partial x=0`，所以`(1)`式有初积分（循环积分）$$p_x=\frac{\partial L}{\partial \dot x}=\mathrm{const}\tag{3}$$该式表征的是广义动量守恒，即系统的广义动量在该广义位移方向上是守恒的。由于初始时该广义位移方向上系统广义动量为零，故上式右边的const是0. 即$$2m\dot x+m\dot{\varphi}l\cos \varphi=0\tag{3.1}$$
注意，广义动量只与主动力相关，而牛顿力学中的动量与合外力相关。不过由于这里的广义位移`x`就是普通的位移，故该上面的动量守恒就退化为牛顿力学中的动量守恒——合外力在水平方向分量为零则该方向系统动量守恒。由于初始系统无动量，因此系统质心水平坐标不变。写成数学公式，就是$$x+\frac{l}{2}\sin \varphi=x^{\ast}+\frac{l}{2}\sin \varphi^{\ast}\tag{3.2}$$事实上，`(3.2)`就是`(3.1)`对时间的一次积分。

另外拉格朗日函数不显含时间，故可得另一个初积分——能量积分，即系统广义能量守恒。一般形式比较复杂，这里就不再写了。但是本题中，由于广义坐标的关系，广义能量守恒化简后就相当于机械能守恒。

kastin

kastin 发表于 2014-10-16 16:26
观察拉格朗日函数，可知其不含广义坐标 `x`（不显含的广义坐标被称为循环坐标） ，故 `\partial L/\partial ...

@倪举鹏,这是Mathematica代码，你自己运行一下。小球轨迹

1. sol = NDSolve[{2 x''[t] + phi''[t] Cos[phi[t]] -
   
2.       phi'[t]^2 Sin[phi[t]] == 0,
   
3.     phi''[t] + x''[t] Cos[phi[t]] + 10 Sin[phi[t]] == 0, x[0] == 2,
   
4.     phi[0] == Pi/3, x'[0] == 0, phi'[0] == 0}, {x, phi}, {t, 0, 5}];
   
5. Plot[Evaluate[{x[t], Sin[phi[t]]} /. sol], {t, 0, 5},
   
6. AxesLabel -> {"t(s)", "x(m)"}, PlotLegends -> {"方块水平位移", "小球水平位移"},
   
7. PlotLabel -> "水平位移"]
   
8. ParametricPlot[
   
9. Evaluate[{x[t] + Sin[phi[t]], -Cos[phi[t]]} /. sol], {t, 0, 1},
   
10. AxesLabel -> {"x(m)", "y(m)"}, PlotLabel -> "小球轨迹", AspectRatio -> 1,
    
11.   PlotRange -> {{2, 3}, {-1, -0.45}}]

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葡萄糖

kastin 发表于 2014-10-15 11:22
理论力学中很普通的题目，使用牛顿力学或者分析力学的方法都可以列出运动方程，但后者更方便。因此直接考虑 ...

这也是中学物理竞赛中很普通的题目！
椭圆摆有多种实现方法！
无摩擦弹性刚杆的自由倒伏、无摩擦半圆弧滑槽、无摩擦小车上的单摆..........

zeroieme 发表于 2014-10-15 11:25
感觉上面太轻会跳起来。要改条件成卡在类似过山车式轨道上吗？...

(要卡在轨道上吗?)
不必！

mathe 发表于 2014-10-15 18:32
不考虑方块和地面间弹力是不会跳起的...

只要上面物体是刚性的(即物体不发生形变(ps:另外，在普通物理学中，物块都是不考虑形变的))，摆锤\(B\)在地面或地面以下。
就算上面物块太轻，也不会弹起来！
物体向上运动的原因是物体有向上的初速度或有向上的加速度。
可以想象：
物体向上抛出时，都得有个向上的初速度！
弹簧恰好弹起来时，是有压缩的，且向上的弹力等于(或稍稍大于)重力！

显然，系统没有超过地面的向上初速度！(换句话说，就是整个系统在达到地面时，系统已没有了速度。)
系统的加速度都是向下的！因为系统所受到的合外力为重力。

kastin 发表于 2014-10-15 11:22
倪举鹏：
大致轨迹是什么 整体会不会水平运动下去 还是呆在原地\(\color{red}{震动}\)(应改为\(\color{black}{振动}\)) ...

另外，当物块有初速度时，如下图：



补充内容 (2014-11-2 12:43):
是有个小小的问题，“因为系统所受到的合外力为重力”，漏掉了地面的支持力。应改为“系统所受到的合外力为重力和地面的支持力”。当摆锤\(B\)运动到地面时，系统受到的合外力向下。

kastin

kastin 发表于 2014-10-18 21:28
@倪举鹏,这是Mathematica代码，你自己运行一下。小球轨迹

@倪举鹏，为什么不行呢？这个得看情况了，如果是刚体的纯滚动（不打滑），滚动摩擦力大小只与接触面，以及刚体外形、质量分布有关。因此是完整约束，因此适用拉格朗日第二类方程。如果是动摩擦，一般来说，这个摩擦力是库伦摩擦（本质是电磁力，大小跟粗糙程度以及压力有关，与速度无关），因此也是完整系统。上述两种情况，摩擦力虽然是约束力，但是属于非理想约束（虚功不为零），故把摩擦力（或者滚阻）看成主动力就行了，求出对应的广义力表达，然后加在对应拉格朗日方程右边。

但是注意，如果是空气阻力那种摩擦（大小跟一般速度有关），这是非完整系统，得用第一类拉格朗日方程（加一个拉格朗日乘子），非常复杂，且不可积。

事实上，第二类拉格朗日方程是从虚功原理以及达朗贝尔原理（即所谓的“动静法”，以静的角度观察动，这属于哲学层次的方法了）推导出来的，而上面这些摩擦力所做虚功不为零，属于耗散力，而所以摩擦力必然出现在广义力项中。在能量积分中，这些耗散力就是耗散功率了。

如果你对经典力学（即除去统计热力力学、量子力学、电动力学等之外）很感兴趣，可以看看相关书籍。关于分析力学领域，推荐沈惠川,沈励编著的《经典力学》《经典力学题谱》，有很多很有趣的讨论以及例子。当然还有梅凤祥（研究分析力学的大师）的分析力学教材。如果只是对刚体力学感兴趣，可以看看刘延柱（研究刚体力学大师级人物）的书。

cn8888

我没想到这个是个轨迹是个椭圆!

cn8888

@kastin 为什么是椭圆呀?为什么我看不出来是椭圆?椭圆不是到两个固定点的距离和相同吗?

kastin

cn8888 发表于 2014-10-20 19:01
@kastin 为什么是椭圆呀?为什么我看不出来是椭圆?椭圆不是到两个固定点的距离和相同吗?

因为根据11# （3.2）可知小球水平位移为`x_球=\D x+l\sin \varphi=\mathrm{const}+l/2 \sin \varphi`，竖直坐标为`y_球=-l \cos \varphi`。

于是小球轨迹为$$\frac{(x-\mathrm{const})^2}{(l/2)^2}+\frac{y^2}{l^2}=1\quad(x>0,y<0)$$

倪举鹏

kastin 发表于 2014-10-15 11:22
理论力学中很普通的题目，使用牛顿力学或者分析力学的方法都可以列出运动方程，但后者更方便。因此直接考虑 ...

可不可以设下面球坐标函数(x(t),y(t)),然后上面滑块坐标(s(t),0),加上约束条件两点距离为1.怎么列拉格朗日方程呢？