古德斯坦函数第16项g(16)有多大？

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古德斯坦函数$g(n)$表示首项为$n$的古德斯坦数列$G$的长度。

古德斯坦数列的定义如下：

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给定首项$G(1)$，那么该数列的第$i$（$i=2,3,4,...$）项$G(i)$如下构造：

第$1$步：把$G(i-1)$写成完全$i$进制【注】表示；
第$2$步：把完全$i$进制表示里面所有的$i$改成$(i+1)$；
第$3$步：把第$2$步得到的数减$1$，就得到了$G(i)$。

当$G(i)=0$时，该数列终止，不再有下一项。
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例如，当$G(1)=266$时，把$G(1)$写成完全$2$进制表示：

$G(1)=2^{2^{2+1}}+2^{2+1}+2$

然后把所有的$2$改成$3$，得到：

$3^{3^{3+1}}+3^{3+1}+3$

然后该数减$1$，得到$G(2)$：

$G(2)=3^{3^{3+1}}+3^{3+1}+2$

接下来把$G(2)$写成完全$3$进制表示，然后把所有的$3$改成$4$，然后再减$1$，就得到了$G(3)=4^{4^{4+1}}+4^{4+1}+1$。

依次类推可得到

$G(4)=5^{5^{5+1}}+5^{5+1}$

$G(5)=6^{6^{6+1}}+5*6^6+5*6^5+5*6^4+5*6^3+5*6^2+5*6+5$

……

直到存在$N$满足$G(N)=0$，该数列终止，长度为$N$。

问：当$G(1)=16$时，该数列的长度$g(16)$有多大？

能否用康威链式箭号表示法给出$g(16)$的上界？

注：完全$i$进制表示就是把$i$进制表示里的指数也用$i$进制来表示。例如，把$13131$写成$3$进制为$13131=2*3^8+3^2$，里面的指数$8$已经大于$3$了，将其写成$2*3+2$，得到$13131$的完全$3$进制表示$2*3^{2*3+2}+3^2$。

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为了表示大数，我们定义一系列函数。

当$x$很大的时候，我们通常用$\log_2 x$来指示$x$的大小。例如，$\log_2 x=65536$就意味着$x=2^65536$。

为了方便，我们把$\log$下面的底数$2$省略。

如果$\log x$还是很大，我们会对$x$反复进行对数运算，直到运算结果能直观地表示为止。

例如：当$x=2^65536$时，$\log^{(2)}x=\log\log x=16$，$\log^{(3)}x=\log\log\log x=4$，$\log^{(4)}x=\log\log\log\log x=2$。

我们用$\log^{**}x$来表示至少需要对$x$进行多少次对数运算，其结果才小于$2$：

$\log^{**}x=\min\{i|\log^{(i)}x<2\}$。

例如：$\log^{**}1=0$、$\log^{**}2=1$、$\log^{**}4=2$、$\log^{**}16=3$、$\log^{**}65536=4$、$\log^{**}2^65536=5$、

$\log^{**}2^{2^65536}=6$、$\log^{**}2^{2^{2^65536}}=7$、……、$\log^{**}2^{2^{2^{...}}}=65536$（$65536$层指数塔）、……

我们用$\log^{** **}x$来表示至少需要对$x$进行多少次$\log^{**}$运算，其结果才小于$2$：

$\log^{** **}x=\min\{i|\log^{**(i)}x<2\}$。

例如：$\log^{** **}1=0$、$\log^{** **}2=1$、$\log^{** **}4=2$、$\log^{** **}65536=3$、

$\log^{** **}2^{2^{2^{...}}}=4$（$65536$层指数塔）、$\log^{** **}2^{2^{2^{...}}}=5$（【$2^{2^{2^{...}}}$（$65536$层指数塔）】层指数塔）、

$\log^{** **}2^{2^{2^{...}}}=6$（【$2^{2^{2^{...}}}$（【$2^{2^{2^{...}}}$（$65536$层指数塔）】层指数塔）】层指数塔）、……、



、……

依次类推可以定义$\log^{** ** **}x$、$\log^{** ** ** **}x$、$\log^{** ** ** ** **}x$、……

我们用$\log^{** ** ... **}x$（$k+1$个$**$）来表示至少需要对$x$进行多少次$\log^{** ** ... **}$（$k$个$**$）运算，其结果才小于$2$：

$\log^{** ** ... **}x$（$k+1$个$**$）$=\min\{i|\log^{** ** ... **(i)}x<2\}$（$k$个$**$）

当$\log^{** ** ... **}x$还是很大的时候，我们用$\alpha(x)$来指示$x$的大小：

$\alpha(1)=0$，$\alpha(2)=\alpha(3)=1$；

当$x\geq 4$时，$\alpha(x)-2$表示$\log$上面至少需要多少个$**$，$\log^{** ** ... **}x$才小于$4$：

$\alpha(x)=\min\{i|\log^{** ** ... **}x$（$i-2$个$**$）$<4\}$

例如：$\alpha(4)=2$，$\alpha(16)=3$，$\alpha(65536)=4$，$\alpha(2^{2^{2^{...}}})=5$（$65536$层指数塔），





……

当$\alpha(x)$还是很大的时候，我们可以对$x$进行多次$\alpha$运算。

我们用$\alpha^{**}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$\alpha$运算，其结果才小于$2$：

$\alpha^{**}(x)=\min\{i|\alpha^{(i)}(x)<2\}$。

例如：$\alpha^{**}(1)=0$、$\alpha^{**}(2)=1$、$\alpha^{**}(4)=2$、$\alpha^{**}(65536)=3$、……、$\alpha^{**}($葛立恒数$)=66$、……

我们用$\alpha^{** **}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$\alpha^{**}$运算，其结果才小于$2$：

$\alpha^{** **}(x)=\min\{i|\alpha^{**(i)}(x)<2\}$。

例如：$\alpha^{** **}(1)=0$、$\alpha^{** **}(2)=1$、$\alpha^{** **}(4)=2$、$\alpha^{** **}($葛立恒数$)=3$、……

依次类推可以定义$\alpha^{** ** **}(x)$、$\alpha^{** ** ** **}(x)$、……：

$\alpha^{** ** ... **}(x)$（$k+1$个$**$）$=\min\{i|\alpha^{** ** ... **(i)}(x)<2\}$（$k$个$**$）

当$\alpha^{** ** ... **}(x)$还是很大的时候，我们用$\alpha\alpha(x)$来指示$x$的大小：

$\alpha\alpha(1)=0$，$\alpha\alpha(2)=\alpha\alpha(3)=1$；

当$x\geq 4$时，$\alpha\alpha(x)-2$表示$\alpha$上面至少需要多少个$**$，$\alpha^{** ** ... **}(x)$才小于$4$：

$\alpha\alpha(x)=\min\{i|\alpha^{** ** ... **}(x)$（$i-2$个$**$）$<4\}$

例如：$\alpha\alpha(4)=2$、$\alpha\alpha(65536)=3$、$\alpha\alpha($葛立恒数$)=4$、$\alpha\alpha($3→3→3→3$)=5$、……

依次类推可以定义$\alpha\alpha\alpha(x)$、$\alpha\alpha\alpha\alpha(x)$、……：

$\alpha\alpha...\alpha(1)=0$（任意多个$\alpha$），$\alpha\alpha...\alpha(2)=\alpha\alpha...\alpha(3)=1$（任意多个$\alpha$）；

当$x\geq 4$时，$\alpha\alpha...\alpha(x)$（$k+1$个$\alpha$）$-2$表示$\alpha\alpha...\alpha$（$k$个$\alpha$）上面至少需要多少个$**$，$\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... **}(x)$（$k$个$\alpha$）才小于$4$：

$\alpha\alpha...\alpha(x)$（$k+1$个$\alpha$）$=\min\{i|\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... **}(x)$（$k$个$\alpha$，$i-2$个$**$）$<4\}$

当$\alpha\alpha...\alpha(x)$还是很大的时候，我们用$\beta(x)$来指示$x$的大小：

$\beta(1)=0$，$\beta(2)=\beta(3)=1$；

当$x\geq 4$时，$\beta(x)-1$表示至少需要多少个$\alpha$，$\alpha\alpha...\alpha(x)$才小于$4$：

$\beta(x)=\min\{i|\alpha\alpha...\alpha(x)$（$i-1$个$\alpha$）$<4\}$

例如：$\beta(4)=2$、$\beta(65536)=3$、$\beta($葛立恒数$)=4$、$\beta($2→3→4→5→6$)=5$、……

当$\beta(x)$还是很大的时候，我们可以对$x$进行多次$\beta$运算。

我们用$\beta^{**}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$\beta$运算，其结果才小于$2$：

$\beta^{**}(x)=\min\{i|\beta^{(i)}(x)<2\}$。

我们用$\beta^{** **}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$\beta^{**}$运算，其结果才小于$2$：

$\beta^{** **}(x)=\min\{i|\beta^{**(i)}(x)<2\}$。

依次类推可以定义$\beta^{** ** **}(x)$、$\beta^{** ** ** **}(x)$、……：

$\beta^{** ** ... **}(x)$（$k+1$个$**$）$=\min\{i|\beta^{** ** ... **(i)}(x)<2\}$（$k$个$**$）

当$\beta^{** ** ... **}(x)$还是很大的时候，我们用$\beta\alpha(x)$来指示$x$的大小：

$\beta\alpha(1)=0$，$\beta\alpha(2)=\beta\alpha(3)=1$；

当$x\geq 4$时，$\beta\alpha(x)-2$表示$\beta$上面至少需要多少个$**$，$\beta^{** ** ... **}(x)$才小于$4$：

$\beta\alpha(x)=\min\{i|\beta^{** ** ... **}(x)$（$i-2$个$**$）$<4\}$

依次类推可以定义$\beta\alpha\alpha(x)$、$\beta\alpha\alpha\alpha(x)$、……：

$\beta\alpha\alpha...\alpha(1)=0$（任意多个$\alpha$），$\beta\alpha\alpha...\alpha(2)=\beta\alpha\alpha...\alpha(3)=1$（任意多个$\alpha$）；

当$x\geq 4$时，$\beta\alpha\alpha...\alpha(x)$（$k+1$个$\alpha$）$-2$表示$\beta\alpha\alpha...\alpha$（$k$个$\alpha$）上面至少需要多少个$**$，$\beta\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... **}(x)$（$k$个$\alpha$）才小于$4$：

$\beta\alpha\alpha...\alpha(x)$（$k+1$个$\alpha$）$=\min\{i|\beta\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... **}(x)$（$k$个$\alpha$，$i-2$个$**$）$<4\}$

当$\beta\alpha\alpha...\alpha(x)$还是很大的时候，我们用$\beta\beta(x)$来指示$x$的大小：

$\beta\beta(1)=0$，$\beta\beta(2)=\beta\beta(3)=1$；

当$x\geq 4$时，$\beta\beta(x)-1$表示至少需要多少个$\alpha$，$\beta\alpha\alpha...\alpha(x)$才小于$4$：

$\beta\beta(x)=\min\{i|\beta\alpha\alpha...\alpha(x)$（$i-1$个$\alpha$）$<4\}$

依次类推可以定义$\beta\beta\beta(x)$、$\beta\beta\beta\beta(x)$、……：

$\beta\beta...\beta(1)=0$（任意多个$\beta$），$\beta\beta...\beta(2)=\beta\beta...\beta(3)=1$（任意多个$\beta$）；

当$x\geq 4$时，$\beta\beta...\beta(x)$（$k+1$个$\beta$）$-1$表示至少需要多少个$\alpha$，$\beta\beta...\beta\alpha\alpha...\alpha(x)$（$k$个$\beta$）才小于$4$：

$\beta\beta...\beta(x)$（$k+1$个$\beta$）$=\min\{i|\beta\beta...\beta\alpha\alpha...\alpha(x)$（$k$个$\beta$，$i-1$个$\alpha$）$<4\}$

#####

接下来我们看看上面定义的函数能否直观地指示$g(16)$的大小。

根据定义，我们从$G(1)=16$开始，把$16$写成完全二进制：

$G(1)=2^{2^2}$

于是

$G(2)=3^{3^3}-1=2*3^{2*3^2+2*3+2}+2*3^{2*3^2+2*3+1}+...+2*3^{3+1}+2*3^3+2*3^2+2*3+2$

$G(3)=2*4^{2*4^2+2*4+2}+2*4^{2*4^2+2*4+1}+...+2*4^{4+1}+2*4^4+2*4^2+2*4+1$

$G(4)=2*5^{2*5^2+2*5+2}+2*5^{2*5^2+2*5+1}+...+2*5^{5+1}+2*5^5+2*5^2+2*5$

$G(5)=2*6^{2*6^2+2*6+2}+2*6^{2*6^2+2*6+1}+...+2*6^{6+1}+2*6^6+2*6^2+6+5$

$G(6)=...+2*7^2+7+4$

$G(7)=...+2*8^2+8+3$

$G(8)=...+2*9^2+9+2$

$G(9)=...+2*10^2+10+1$

$G(10)=...+2*11^2+11$

$G(11)=...+2*12^2+11$

$G(12)=...+2*13^2+10$

$G(13)=...+2*14^2+9$

……

$G(22)=...+2*23^2$

$G(23)=...+24^2+23*24+23$

……

$G(46)=...+47^2+23*47$

$G(47)=...+48^2+22*48+47$

……

$G(94)=...+95^2+22*95$

$G(95)=...+96^2+21*96+95$

……

$G(190)=...+191^2+21*191$

$G(191)=...+192^2+20*192+191$

……

$G(201326590)=...+201326591^2+201326591$

$G(201326591)=...+201326592^2+201326591$

……

$G(402653182)=...+402653183^2$

$G(402653183)=...+402653183*402653184+402653183$

……

$G(x-1)=...+2*x^x$，$x=3*2^402653211-1$

$G(x-1)=...+x^x+(x-1)*x^{x-1}+(x-1)*x^{x-2}+...+(x-1)*x^3+(x-1)*x^2+(x-1)*x+(x-1)$，
$x=3*2^402653211$，$\log^{**}x=5$

……

$G(x-1)=...+x^x+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-1}+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-2}+...+(3*2^402653211-1)*x^3+(3*2^402653211-1)*x^2$，
$x=3*2^{3*2^402653211+402653211}-1$，$\log^{**}x=6$

$G(x-1)=...+x^x+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-1}+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-2}+...+(3*2^402653211-1)*x^3+(3*2^402653211-2)*x^2+(x-1)*x+x$，
$x=3*2^{3*2^402653211+402653211}$，$\log^{**}x=6$

……

$G(x-1)=...+x^x+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-1}+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-2}+...+(3*2^402653211-1)*x^3+(3*2^402653211-3)*x^2+(x-1)*x+x$，
$\log^{**}x=7$

……

$G(x-1)=...+x^x+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-1}+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-2}+...+(3*2^402653211-1)*x^3$，
$\log^{**}x=3*2^402653211+5$

$G(x-1)=...+x^x+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-1}+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-2}+...+(3*2^402653211-2)*x^3+(x-1)*x^2+(x-1)*x+(x-1)$，
$\log^{**}x=3*2^402653211+5$

……

$G(x-1)=...+x^x+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-1}+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-2}+...+(3*2^402653211-2)*x^3$，
$\log^{**}\log^{**}x=3*2^402653211+5$

……

$G(x-1)=...+x^x+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-1}+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-2}+...+(3*2^402653211-3)*x^3$，
$\log^{**}\log^{**}\log^{**}x=3*2^402653211+5$

……

$G(x-1)=...+x^x+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-1}+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-2}+...+(3*2^402653211-1)*x^4$，
$\log^{** **}x=3*2^402653211+4$

……

$G(x-1)=...+x^x+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-1}+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-2}+...+(3*2^402653211-1)*x^5$，
$\log^{** ** **}x=3*2^402653211+3$

……

$G(x-1)=...+x^x+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-1}+(3*2^402653211-1)*x^{3*2^402653211-2}+...+(3*2^402653211-1)*x^6$，
$\log^{** ** ** **}x=3*2^402653211+3$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x+1}+x^x$
$\alpha(x)=3*2^402653211+1$

$G(x-1)=...+2*x^{x+1}+(x-1)*x^{x-1}+(x-1)*x^{x-2}+...+(x-1)*x+(x-1)$
$\alpha(x)=3*2^402653211+1$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x+1}$
$\alpha(\alpha(x))=3*2^402653211+1$，$\alpha^{**}(x)=5$

$G(x-1)=...+x^{x+1}+(x-1)*x^x+(x-1)*x^{x-1}+...+(x-1)*x+(x-1)$
$\alpha(\alpha(x))=3*2^402653211+1$，$\alpha^{**}(x)=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x+2}+x^{x+1}$
$\alpha^{**}(\alpha^{**}(x))=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x+2}$
$\alpha^{**}(\alpha^{**}(\alpha^{**}(x)))=5$，$\alpha^{** **}(x)=5$

$G(x-1)=...+x^{x+2}+(x-1)*x^{x+1}+(x-1)*x^x+(x-1)*x^{x-1}+...+(x-1)*x+(x-1)$
$\alpha^{** **}(x)=5$，$\alpha^{** ** **}(x)=3$

……

$G(x-1)=...+x^{x+2}$
$\alpha^{** ** **}(x)=4$

……

$G(x-1)=...+2*x^{2*x}$
$\alpha^{** ** **}(x)=5$，$\alpha\alpha(x)=6$

$G(x-1)=...+x^{2*x}+(x-1)*x^{x+(x-1)}+(x-1)*x^{x+(x-2)}+...+(x-1)*x+(x-1)$
$\alpha\alpha(x)=6$

……

$G(x-1)=...+x^{2*x}$
$\alpha\alpha(\alpha\alpha(x))=6$，$\alpha\alpha^{**}(x)=4$

……

$G(x-1)=...+2*x^{2*x+1}$
$\alpha\alpha^{**}(x)=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{2*x+2}$
$\alpha\alpha^{** **}(x)=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x^2}$
$\alpha\alpha^{** ** **}(x)=5$，$\alpha\alpha\alpha(x)=6$，$\beta(x)=5$

$G(x-1)=...+x^{x^2}+(x-1)*x^{(x-1)*x+(x-1)}+(x-1)*x^{(x-1)*x+(x-2)}+...+(x-1)*x+(x-1)$
$\alpha\alpha^{** ** **}(x)=5$，$\alpha\alpha\alpha(x)=6$，$\beta(x)=5$

……

$G(x-1)=...+x^{x^2}$
$\beta(\beta(x))=5$，$\beta^{**}(x)=4$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x^2+1}$
$\beta^{**}(x)=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x^2+2}$
$\beta^{** **}(x)=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x^2+x}$
$\beta^{** ** **}(x)=5$，$\beta\alpha(x)=6$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x^2+x+1}$
$\beta\alpha^{**}(x)=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x^2+x+2}$
$\beta\alpha^{** **}(x)=5$，$\beta\alpha\alpha(x)=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{x^2+2*x}$
$\beta\alpha\alpha(x)=6$

……

$G(x-1)=...+2*x^{2*x^2}$
$\beta\alpha\alpha\alpha(x)=6$，$\beta\beta(x)=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{2*x^2+1}$
$\beta\beta^{**}(x)=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{2*x^2+2}$
$\beta\beta^{** **}(x)=5$，$\beta\beta\alpha(x)=5$

……

$G(x-1)=...+2*x^{2*x^2+x}$
$\beta\beta\alpha(x)=6$

……

$G(x-1)=2*x^{2*x^2+2*x+2}+2*x^{2*x^2+2*x+1}+2*x^{2*x^2+2*x}$
$\beta\beta\alpha\alpha(x)=6$

……

$G(x-1)=2*x^{2*x^2+2*x+2}+2*x^{2*x^2+2*x+1}$
$\beta\beta\alpha\alpha^{**}(x)=5$

……

$G(x-1)=2*x^{2*x^2+2*x+2}$
$\beta\beta\alpha\alpha^{** **}(x)=5$

$G(x)=0$
$\beta\beta\alpha\alpha^{** ** (3)}(x)=5$

所以$g(16)$有这么大：

$\beta\beta\alpha\alpha^{** ** (3)}(g(16))=5$

#####

能否用康威链式箭号表示法给出$g(16)$的上界？

答案是否定的。

用康威链式箭号表示法表示$x$，需要$\beta(x)-1$个箭头。

当$\beta(x)$还是很大的时候，康威链式箭号表示法就难以表示$x$了。

wayne

很高大上啊。顶一个

dianyancao

一般来说用硬件实现超运算速度比直接软件实现快
但超运算的阶数是无穷多的，如何选择基本的运算构建出高阶超运算使得速度较快，硬件结构或者说算法又不太复杂呢？
我歪楼了

neluzyy1

好帖啊！顶起来啊啊 啊啊啊啊啊啊啊啊

KeyTo9_Fans

$2$楼只是介绍了$*^{(k)}$、$**$、$\alpha$、$\beta$这几种用来指示大数的记号，

（我在$2$楼添加了很多例子，坛友们不妨看看新加的例子，以加深对不同层次的大数的认识）

总结起来其实就只有这几个要点：

=========================

当函数$f$无法指示更大的数时，我们就通过以下记号来指示这些更大的数：

$f^{(k)}(x)$表示对$x$进行$k$次$f$运算，即$f^{(k)}(x)=f(f(...f(x)...))$（$k$层）；

$f^{**}(x)$表示至少需要对$x$进行多少次$f$运算，其结果才小于$2$；

$f\alpha(x)-2$表示至少需要多少个$**$，$f^{** ** ... **}(x)$才小于$4$；

$f\beta(x)-1$表示至少需要多少个$\alpha$，$f\alpha\alpha...\alpha(x)$才小于$4$。

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由于用$\beta\beta...\beta\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... ** (k)}(x)$就足以指示$g(16)$的大小，

$2$楼就没有介绍更多的记号了。

当我们遇到更大的数，用$\beta\beta...\beta(x)$也无法指示$x$的大小的时候，该怎么办呢？

我们将引入更多的记号，以指示远比$g(16)$大的数，例如：$g(65536)$。

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当$\beta\beta...\beta(x)$还是很大的时候，我们用$\gamma(x)$来指示$x$的大小：

$\gamma(1)=0$、$\gamma(2)=\gamma(3)=1$，

当$x\geq 4$时，$\gamma(x)-1$表示至少需要多少个$\beta$，$\beta\beta...\beta(x)$才小于$4$。

例如：$\gamma(4)=2$、$\gamma($葛立恒数$)=3$、$\gamma(g(16))=5$、……

于是通过对以上记号的复用，下列这些函数都可以定义了（具体定义不再敷述）：

$\gamma^{**}$、$\gamma^{** **}$、$\gamma^{** ** **}$、$\gamma^{** ** ** **}$、……（任意多个$**$）

$\gamma\alpha$、$\gamma\alpha^{**}$、$\gamma\alpha^{** **}$、$\gamma\alpha^{** ** **}$、……（任意多个$**$）

$\gamma\alpha\alpha$、$\gamma\alpha\alpha\^{**}$、$\gamma\alpha\alpha^{** **}$、$\gamma\alpha\alpha^{** ** **}$、……（任意多个$**$）

$\gamma\alpha\alpha\alpha$、$\gamma\alpha\alpha\alpha\^{**}$、$\gamma\alpha\alpha\alpha^{** **}$、$\gamma\alpha\alpha\alpha^{** ** **}$、……（任意多个$**$）

……

$\gamma\alpha\alpha\alpha...\alpha$（任意多个$\alpha$）

$\gamma\beta$、$\gamma\beta\alpha$、$\gamma\beta\alpha\alpha$、$\gamma\beta\alpha\alpha\alpha$、……（任意多个$\alpha$）

$\gamma\beta\beta$、$\gamma\beta\beta\alpha$、$\gamma\beta\beta\alpha\alpha$、$\gamma\beta\beta\alpha\alpha\alpha$、……（任意多个$\alpha$）

$\gamma\beta\beta\beta$、$\gamma\beta\beta\beta\alpha$、$\gamma\beta\beta\beta\alpha\alpha$、$\gamma\beta\beta\beta\alpha\alpha\alpha$、……（任意多个$\alpha$）

……

$\gamma\beta\beta\beta...\beta$（任意多个$\beta$）

$\gamma\gamma$、$\gamma\gamma\beta$、$\gamma\gamma\beta\beta$、$\gamma\gamma\beta\beta\beta$、……（任意多个$\beta$）

$\gamma\gamma\gamma$、$\gamma\gamma\gamma\beta$、$\gamma\gamma\gamma\beta\beta$、$\gamma\gamma\gamma\beta\beta\beta$、……（任意多个$\beta$）

……

$\gamma\gamma\gamma...\gamma$（任意多个$\gamma$）

当$\gamma\gamma...\gamma(x)$还是很大的时候，我们用$\delta(x)$来指示$x$的大小：

$\delta(1)=0$、$\delta(2)=\delta(3)=1$，

当$x\geq 4$时，$\delta(x)-1$表示至少需要多少个$\gamma$，$\gamma\gamma...\gamma(x)$才小于$4$。

于是通过对以上记号的复用，下列这些函数都可以定义了（具体定义不再敷述）：

$\delta\delta...\delta\gamma\gamma...\gamma\beta\beta...\beta\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... **}(x)$（任意多个$\delta$、$\gamma$、$\beta$、$alpha$、$**$）

当$\delta\delta...\delta(x)$还是很大的时候，我们用$\epsilon(x)$来指示$x$的大小：

$\epsilon(1)=0$、$\epsilon(2)=\epsilon(3)=1$，

当$x\geq 4$时，$\epsilon(x)-1$表示至少需要多少个$\delta$，$\delta\delta...\delta(x)$才小于$4$。

于是通过对以上记号的复用，下列这些函数都可以定义了（具体定义不再敷述）：

$\epsilon\epsilon...\epsilon\delta\delta...\delta\gamma\gamma...\gamma\beta\beta...\beta\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... **}(x)$（任意多个$\epsilon$、$\delta$、$\gamma$、$\beta$、$alpha$、$**$）

依次类推可以定义$\zeta(x)$、$\eta(x)$、$\theta(x)$、$\iota(x)$、$\kappa(x)$、$\lambda(x)$、$\mu(x)$、$\nu(x)$、……

总结起来其实就只有这几个要点：

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当函数$f$无法指示更大的数时，我们就通过以下记号来指示这些更大的数：

$f^{(k)}(x)$表示对$x$进行$k$次$f$运算，即$f^{(k)}(x)=f(f(...f(x)...))$（$k$层）；

$f^{**}(x)$表示至少需要对$x$进行多少次$f$运算，其结果才小于$2$；

$f\alpha(x)-2$表示至少需要多少个$**$，$f^{** ** ... **}(x)$才小于$4$；

$f\omega_{i+1}(x)-1$表示至少需要多少个$\omega_i$，$f\omega_i\omega_i...\omega_i(x)$才小于$4$。

其中：

$\omega_i$表示第$i$个特殊记号，例如：第$1$个特殊记号是$\alpha$、第$2$个特殊记号是$\beta$、第$3$个特殊记号是$\gamma$、……

$\omega_{i+1}$表示$\omega_i$的下一个特殊记号，例如：$\alpha$的下一个特殊记号是$\beta$、$\beta$的下一个特殊记号是$\gamma$、……

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可是，如果$x$实在太大，定义了很多个特殊记号也没能直观地指示$x$的大小，该怎么办呢？

KeyTo9_Fans

为了直观地指示更大的数，我们定义一个新的函数：$(\alpha)$

注意，$\alpha$外面加了一对括号，意义就不同了，它比不带括号的$\alpha$高一个级别。

当$x<4$的时候，我们有

$(\alpha)(1)=0$、$(\alpha)(2)=(\alpha)(3)=1$

当$x\geq 4$的时候，$(\alpha)(x)-1$表示至少需要用到第几个特殊记号（我们用$\omega_i$来表示第$i$个特殊记号），$\omega_i(x)$才小于$4$。

例如：

$4\geq 4$，我们至少要用到第$1$个特殊记号$\alpha$，$\alpha(4)$才小于$4$，于是$(\alpha)(4)=2$；

$\alpha(65536)\geq 4$，我们至少要用到第$2$个特殊记号$\beta$，$\beta(65536)$才小于$4$，于是$(\alpha)(65536)=3$；

$\beta($葛立恒数$)\geq 4$，我们至少要用到第$3$个特殊记号$\gamma$，$\gamma($葛立恒数$)$才小于$4$，于是$(\alpha)($葛立恒数$)=4$；

$\gamma(g(16))\geq 4$，我们至少要用到第$4$个特殊记号$\delta$，$\delta(g(16))$才小于$4$，于是$(\alpha)(g(16))=5$；

$\delta(g(17))\geq 4$，我们至少要用到第$5$个特殊记号$\epsilon$，$\epsilon(g(17))$才小于$4$，于是$(\alpha)(g(17))=6$；

$\zeta(g(18))\geq 4$，我们至少要用到第$7$个特殊记号$\eta$，$\eta(g(18))$才小于$4$，于是$(\alpha)(g(18))=8$；

$\theta(g(19))\geq 4$，我们至少要用到第$9$个特殊记号$\iota$，$\iota(g(19))$才小于$4$，于是$(\alpha)(g(19))=10$；

……

当$(\alpha)(x)$还是很大的时候，我们可以对$x$进行多次$(\alpha)$运算。

我们用$(\alpha)^{**}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$(\alpha)$运算，其结果才小于$2$。

例如：$(\alpha)^{**}(1)=0$、$(\alpha)^{**}(2)=1$、$(\alpha)^{**}(4)=2$、$(\alpha)^{**}(g(16))=3$、$(\alpha)^{**}(g(24))=4$、$(\alpha)^{**}(g(32))=5$、$(\alpha)^{**}(g(33))=6$、$(\alpha)^{**}(g(34))=8$、$(\alpha)^{**}(g(35))=10$、……

当$(\alpha)^{**}(x)$还是很大的时候，

我们用$(\alpha)^{** **}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$(\alpha)^{**}$运算，其结果才小于$2$；

我们用$(\alpha)^{** ** **}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$(\alpha)^{** **}$运算，其结果才小于$2$；

……

当$x\geq 4$时，我们用$(\alpha)\alpha(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha)^{** ** ... **}(x)$才小于$4$。（当$x<4$时，$(\alpha)\alpha(1)=0$，$(\alpha)\alpha(2)=(\alpha)\alpha(3)=1$）

例如：$(\alpha)\alpha(4)=2$、$(\alpha)\alpha(g(16))=3$、$(\alpha)\alpha(g(24))=4$、$(\alpha)\alpha(g(64))=5$、$(\alpha)\alpha(g(65))=6$、$(\alpha)\alpha(g(66))=8$、$(\alpha)\alpha(g(67))=10$、……

当$(\alpha)\alpha(x)$还是很大的时候，

我们用$(\alpha)\alpha\alpha(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha)\alpha^{** ** ... **}(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha)\alpha\alpha\alpha(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha)\alpha\alpha^{** ** ... **}(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha)\beta(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\alpha)\alpha\alpha...\alpha(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha)\beta\beta(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\alpha)\beta\alpha\alpha...\alpha(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha)\beta\beta\beta(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\alpha)\beta\beta\alpha\alpha...\alpha(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha)\gamma(x)-1$来表示至少需要多少个$\beta$，$(\alpha)\beta\beta...\beta(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha)\gamma\gamma(x)-1$来表示至少需要多少个$\beta$，$(\alpha)\gamma\beta\beta...\beta(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha)\gamma\gamma\gamma(x)-1$来表示至少需要多少个$\beta$，$(\alpha)\gamma\gamma\beta\beta...\beta(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha)\delta(x)-1$来表示至少需要多少个$\gamma$，$(\alpha)\gamma\gamma...\gamma(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha)\epsilon(x)-1$来表示至少需要多少个$\delta$，$(\alpha)\delta\delta...\delta(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha)\zeta(x)-1$来表示至少需要多少个$\epsilon$，$(\alpha)\epsilon\epsilon...\epsilon(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha)\eta(x)-1$来表示至少需要多少个$\zeta$，$(\alpha)\zeta\zeta...\zeta(x)$才小于$4$；

……

可是，如果$x$实在太大，用了很多个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha)\omega_i(x)$还是没能直观地指示$x$的大小，该怎么办呢？

KeyTo9_Fans

当我们用了很多个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha)\omega_i(x)$还是没能直观地指示$x$的大小的时候，

我们用$(\alpha^{(2)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha)\omega_i(x)$才小于$4$。

于是和$7$楼类似，以下函数都可以定义了（具体定义不再敷述）：

$(\alpha^{(2)})^{**}$、$(\alpha^{(2)})^{** **}$、$(\alpha^{(2)})^{** ** **}$、$(\alpha^{(2)})^{** ** ** **}$、……（任意多个$**$）

$(\alpha^{(2)})\alpha$、$(\alpha^{(2)})\alpha\alpha$、$(\alpha^{(2)})\alpha\alpha\alpha$、$(\alpha^{(2)})\alpha\alpha\alpha\alpha$、……（任意多个$\alpha$）

$(\alpha^{(2)})\beta$、$(\alpha^{(2)})\beta\beta$、$(\alpha^{(2)})\beta\beta\beta$、$(\alpha^{(2)})\beta\beta\beta\beta$、……（任意多个$\beta$）

$(\alpha^{(2)})\gamma$、$(\alpha^{(2)})\gamma\gamma$、$(\alpha^{(2)})\gamma\gamma\gamma$、$(\alpha^{(2)})\gamma\gamma\gamma\gamma$、……（任意多个$\gamma$）

$(\alpha^{(2)})\delta$、$(\alpha^{(2)})\delta\delta$、$(\alpha^{(2)})\delta\delta\delta$、$(\alpha^{(2)})\delta\delta\delta\delta$、……（任意多个$\delta$）

$(\alpha^{(2)})\epsilon$、$(\alpha^{(2)})\epsilon\epsilon$、$(\alpha^{(2)})\epsilon\epsilon\epsilon$、$(\alpha^{(2)})\epsilon\epsilon\epsilon\epsilon$、……（任意多个$\epsilon$）

……

当我们用了很多个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{(2)})\omega_i(x)$还是没能直观地指示$x$的大小的时候，

我们用$(\alpha^{(3)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{(2)})\omega_i(x)$才小于$4$。

于是以下函数都可以定义了（具体定义不再敷述）：

$(\alpha^{(3)})^{** ** ... **}(x)$、$(\alpha^{(3)})\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... **}(x)$、$(\alpha^{(3)})\beta\beta...\beta\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... **}(x)$、$(\alpha^{(3)})\gamma\gamma...\gamma\beta\beta...\beta\alpha\alpha...\alpha^{** ** ... **}(x)$、……

（任意多个$**$、$\alpha$、$\beta$、$\gamma$、……）

依次类推：

当我们用了很多个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{(3)})\omega_i(x)$还是没能直观地指示$x$的大小的时候，

我们用$(\alpha^{(4)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{(3)})\omega_i(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{(5)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{(4)})\omega_i(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{(6)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{(5)})\omega_i(x)$才小于$4$；

……

可是，如果$x$实在太大，一直这样类推下去还是没能直观地指示$x$的大小的时候，该怎么办呢？

我们用$(\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$（$(\alpha^{(0)})(x)$就是$x$，$(\alpha^{(1)})(x)$就是$(\alpha)(x)$）。

注意，现在定义的这个函数，$**$是在括号里面的，和之前定义过的$(\alpha)^{**}$（$**$在括号外面）是不同的函数。

例如：

$2<4$，我们只需取$k=0$，就有$(\alpha^{(0)})(2)<4$，所以$(\alpha^{**})(2)=1$；

$4\geq 4$，我们需要取$k=1$，才有$(\alpha^{(1)})(4)<4$，所以$(\alpha^{**})(4)=2$；

$(\alpha^{(1)})($葛立恒数$)\geq 4$，我们需要取$k=2$，才有$(\alpha^{(2)})($葛立恒数$)<4$，所以$(\alpha^{**})($葛立恒数$)=3$；

$(\alpha^{(3)})(g(256))\geq 4$，我们需要取$k=4$，才有$(\alpha^{(4)})(g(256))<4$，所以$(\alpha^{**})(g(256))=5$；

$(\alpha^{(4)})(g(257))\geq 4$，我们需要取$k=5$，才有$(\alpha^{(5)})(g(257))<4$，所以$(\alpha^{**})(g(257))=6$；

$(\alpha^{(6)})(g(258))\geq 4$，我们需要取$k=7$，才有$(\alpha^{(7)})(g(258))<4$，所以$(\alpha^{**})(g(258))=8$；

$(\alpha^{(8)})(g(259))\geq 4$，我们需要取$k=9$，才有$(\alpha^{(9)})(g(259))<4$，所以$(\alpha^{**})(g(259))=10$；

……

KeyTo9_Fans

当$(\alpha^{**})(x)$还是很大的时候，我们可以对$x$进行多次$(\alpha^{**})$运算，

我们用$(\alpha^{**})^{**}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$(\alpha^{**})$运算，其结果才小于$2$。

于是$(\alpha^{**})^{**}(1)=0$、$(\alpha^{**})^{**}(2)=1$、$(\alpha^{**})^{**}(4)=2$、$(\alpha^{**})^{**}(g(256))=3$、$(\alpha^{**})^{**}(g(512))=5$、$(\alpha^{**})^{**}(g(513))=6$、$(\alpha^{**})^{**}(g(514))=8$、$(\alpha^{**})^{**}(g(515))=10$、……

我们用$(\alpha^{**})^{** **}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$(\alpha^{**})^{**}$运算，其结果才小于$2$；

我们用$(\alpha^{**})^{** ** **}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$(\alpha^{**})^{** **}$运算，其结果才小于$2$；

我们用$(\alpha^{**})^{** ** ** **}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$(\alpha^{**})^{** ** **}$运算，其结果才小于$2$；

……

我们用$(\alpha^{**})\alpha(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha^{**})^{** ** ... **}(x)$才小于$4$。

于是$(\alpha^{**})\alpha(4)=2$、$(\alpha^{**})\alpha(g(512))=3$、$(\alpha^{**})\alpha(g(1024))=5$、$(\alpha^{**})\alpha(g(1025))=6$、$(\alpha^{**})\alpha(g(1026))=8$、$(\alpha^{**})\alpha(g(1027))=10$、……

以下函数类似地定义，不再敷述：

$(\alpha^{**})\alpha\alpha...\alpha$（任意多个$\alpha$）

$(\alpha^{**})\beta\beta...\beta$（任意多个$\beta$）

$(\alpha^{**})\gamma\gamma...\gamma$（任意多个$\gamma$）

$(\alpha^{**})\delta\delta...\delta$（任意多个$\delta$）

$(\alpha^{**})\epsilon\epsilon...\epsilon$（任意多个$\epsilon$）

……

我们用$(\alpha^{**}\alpha)(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**})\omega_i(x)$才小于$4$。

注意，现在定义的这个函数，第$2$个$\alpha$也在括号里面，和之前定义过的$(\alpha^{**})\alpha$（第$2$个$\alpha$在括号外面）是不一样的函数。

于是$(\alpha^{**}\alpha)(2)=1$、$(\alpha^{**}\alpha)(4)=2$、$(\alpha^{**}\alpha)(g(1024))=3$、$(\alpha^{**}\alpha)(g(4096))=5$、$(\alpha^{**}\alpha)(g(4097))=6$、$(\alpha^{**}\alpha)(g(4098))=8$、$(\alpha^{**}\alpha)(g(4099))=10$、……

我们用$(\alpha^{**}\alpha)^{**}(x)$来表示至少需要对$x$进行多少次$(\alpha^{**}\alpha)$运算，其结果才小于$2$。

于是$(\alpha^{**}\alpha)^{**}(1)=0$、$(\alpha^{**}\alpha)^{**}(2)=1$、$(\alpha^{**}\alpha)^{**}(4)=2$、$(\alpha^{**}\alpha)^{**}(g(4096))=3$、$(\alpha^{**}\alpha)^{**}(g(8192))=5$、$(\alpha^{**}\alpha)^{**}(g(8193))=6$、$(\alpha^{**}\alpha)^{**}(g(8194))=8$、$(\alpha^{**}\alpha)^{**}(g(8195))=10$、……

我们用$(\alpha^{**}\alpha)\alpha(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha^{**}\alpha)^{** ** ... **}(x)$才小于$4$。

于是$(\alpha^{**}\alpha)\alpha(4)=2$、$(\alpha^{**}\alpha)\alpha(g(8192))=3$、$(\alpha^{**}\alpha)\alpha(g(16384))=5$、$(\alpha^{**}\alpha)\alpha(g(16385))=6$、$(\alpha^{**}\alpha)\alpha(g(16386))=8$、$(\alpha^{**}\alpha)\alpha(g(16387))=10$、……

$(\alpha^{**}\alpha)\alpha^{**}(4)=2$、$(\alpha^{**}\alpha)\alpha^{**}(g(16384))=3$、$(\alpha^{**}\alpha)\alpha^{**}(g(32768))=5$、$(\alpha^{**}\alpha)\alpha^{**}(g(32769))=6$、$(\alpha^{**}\alpha)\alpha^{**}(g(32770))=8$、$(\alpha^{**}\alpha)\alpha^{**}(g(32771))=10$、……

我们用$(\alpha^{**}\alpha)\beta(x)-1$来表示至少需要多少个$\alpha$，$(\alpha^{**}\alpha)\alpha\alpha...\alpha(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**}\alpha)\gamma(x)-1$来表示至少需要多少个$\beta$，$(\alpha^{**}\alpha)\beta\beta...\beta(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**}\alpha)\delta(x)-1$来表示至少需要多少个$\gamma$，$(\alpha^{**}\alpha)\gamma\gamma...\gamma(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**}\alpha)\epsilon(x)-1$来表示至少需要多少个$\delta$，$(\alpha^{**}\alpha)\delta\delta...\delta(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha^{**}\alpha^{(2)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**}\alpha)\omega_i(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**}\alpha^{(3)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**}\alpha^{(2)})\omega_i(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**}\alpha^{(4)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**}\alpha^{(3)})\omega_i(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha^{**}\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{**}\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{**}\alpha^{**})(x)$就是$(\alpha^{**(2)})(x)$。

我们用$(\alpha^{**(2)}\alpha)(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**(2)})\omega_i(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**(2)}\alpha^{(2)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**(2)}\alpha)\omega_i(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**(2)}\alpha^{(3)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**(2)}\alpha^{(2)})\omega_i(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**(2)}\alpha^{(4)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**(2)}\alpha^{(3)})\omega_i(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha^{**(2)}\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{**(2)}\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{**(2)}\alpha^{**})(x)$就是$(\alpha^{**(3)})(x)$。

我们用$(\alpha^{**(3)}\alpha)(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**(3)})\omega_i(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**(3)}\alpha^{(2)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**(3)}\alpha)\omega_i(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**(3)}\alpha^{(3)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**(3)}\alpha^{(2)})\omega_i(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{**(3)}\alpha^{(4)})(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha^{**(3)}\alpha^{(3)})\omega_i(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha^{**(3)}\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{**(3)}\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{**(3)}\alpha^{**})(x)$就是$(\alpha^{**(4)})(x)$；

我们用$(\alpha^{**(4)}\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{**(4)}\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{**(4)}\alpha^{**})(x)$就是$(\alpha^{**(5)})(x)$；

我们用$(\alpha^{**(5)}\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{**(5)}\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{**(5)}\alpha^{**})(x)$就是$(\alpha^{**(6)})(x)$；

……

KeyTo9_Fans

我们用$(\alpha^{** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{**(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{** **}\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** **}\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{** **}\alpha^{**(2)})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** **}\alpha^{**}\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{** **}\alpha^{**(3)})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** **}\alpha^{**(2)}\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{** **}\alpha^{**(4)})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** **}\alpha^{**(3)}\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha^{** **}\alpha^{** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** **}\alpha^{**(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{** **}\alpha^{** **})(x)$就是$(\alpha^{** **(2)})(x)$；

我们用$(\alpha^{** **(2)}\alpha^{** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** **(2)}\alpha^{**(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{** **(2)}\alpha^{** **})(x)$就是$(\alpha^{** **(3)})(x)$；

我们用$(\alpha^{** **(3)}\alpha^{** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** **(3)}\alpha^{**(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{** **(3)}\alpha^{** **})(x)$就是$(\alpha^{** **(4)})(x)$；

我们用$(\alpha^{** **(4)}\alpha^{** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** **(4)}\alpha^{**(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{** **(4)}\alpha^{** **})(x)$就是$(\alpha^{** **(5)})(x)$；

……

我们用$(\alpha^{** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** **(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{** ** **}\alpha^{** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** ** **}\alpha^{** **(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{** ** **}\alpha^{** ** **})(x)$就是$(\alpha^{** ** **(2)})(x)$；

我们用$(\alpha^{** ** **(2)}\alpha^{** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** ** **(2)}\alpha^{** **(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{** ** **(2)}\alpha^{** ** **})(x)$就是$(\alpha^{** ** **(3)})(x)$；

我们用$(\alpha^{** ** **(3)}\alpha^{** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** ** **(3)}\alpha^{** **(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{** ** **(3)}\alpha^{** ** **})(x)$就是$(\alpha^{** ** **(4)})(x)$；

我们用$(\alpha^{** ** **(4)}\alpha^{** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** ** **(4)}\alpha^{** **(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha^{** ** **(4)}\alpha^{** ** **})(x)$就是$(\alpha^{** ** **(5)})(x)$；

……

我们用$(\alpha^{** ** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** ** **(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{** ** ** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** ** ** **(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha^{** ** ** ** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha^{** ** ** ** **(k)})(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha\cdot\alpha)(x)-1$来表示至少需要用到第几个特殊记号$\omega_i$，$(\alpha\alpha)\omega_i(x)$才小于$4$；

注意，现在定义的这个函数，前$2$个$\alpha$是并在一起的，但它们和第$3$个$\alpha$是分开的。

我们用$(\alpha\alpha\cdot\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha\cdot\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha\cdot\alpha^{** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha\cdot\alpha^{**(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha\cdot\alpha^{** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha\cdot\alpha^{** **(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha\cdot\alpha^{** ** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha\cdot\alpha^{** ** **(k)})(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha\alpha\cdot\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha\cdot\alpha^{** ** .. **})(x)$才小于$4$，$(\alpha\alpha\cdot\alpha\alpha)(x)$就是$(\alpha\alpha^{(2)})(x)$；

我们用$(\alpha\alpha^{(2)}\cdot\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha^{(2)}\cdot\alpha^{** ** .. **})(x)$才小于$4$，$(\alpha\alpha^{(2)}\cdot\alpha\alpha)(x)$就是$(\alpha\alpha^{(3)})(x)$；

我们用$(\alpha\alpha^{(3)}\cdot\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha^{(3)}\cdot\alpha^{** ** .. **})(x)$才小于$4$，$(\alpha\alpha^{(3)}\cdot\alpha\alpha)(x)$就是$(\alpha\alpha^{(4)})(x)$；

我们用$(\alpha\alpha^{(4)}\cdot\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha^{(4)}\cdot\alpha^{** ** .. **})(x)$才小于$4$，$(\alpha\alpha^{(4)}\cdot\alpha\alpha)(x)$就是$(\alpha\alpha^{(5)})(x)$；

……

我们用$(\alpha\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha^{**}\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha^{**}\alpha^{** ** .. **})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha^{**}\alpha\alpha^{(2)})(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha^{**}\alpha\alpha\cdot\alpha^{** ** .. **})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha^{**}\alpha\alpha^{(3)})(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha^{**}\alpha\alpha^{(2)}\cdot\alpha^{** ** .. **})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha^{**}\alpha\alpha^{(4)})(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha^{**}\alpha\alpha^{(3)}\cdot\alpha^{** ** .. **})(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha\alpha^{**}\alpha\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha^{**}\alpha\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha\alpha^{**}\alpha\alpha^{**})(x)$就是$(\alpha\alpha^{**(2)})(x)$；

我们用$(\alpha\alpha^{**(2)}\alpha\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha^{**(2)}\alpha\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha\alpha^{**(2)}\alpha\alpha^{**})(x)$就是$(\alpha\alpha^{**(3)})(x)$；

我们用$(\alpha\alpha^{**(3)}\alpha\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha^{**(3)}\alpha\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha\alpha^{**(3)}\alpha\alpha^{**})(x)$就是$(\alpha\alpha^{**(4)})(x)$；

我们用$(\alpha\alpha^{**(4)}\alpha\alpha^{**})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha^{**(4)}\alpha\alpha^{(k)})(x)$才小于$4$，$(\alpha\alpha^{**(4)}\alpha\alpha^{**})(x)$就是$(\alpha\alpha^{**(5)})(x)$；

……

我们用$(\alpha\alpha^{** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha^{**(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha^{** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha^{** **(k)})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha^{** ** ** **})(x)-1$来表示$k$至少是几，$(\alpha\alpha^{** ** **(k)})(x)$才小于$4$；

……

我们用$(\alpha\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；

注意，现在定义的这个函数，$3$个$\alpha$都是并在一起的，和之前定义过的$(\alpha\alpha\cdot\alpha)(x)$（前$2$个$\alpha$和第$3$个$\alpha$是分开的）是不一样的函数。

我们用$(\alpha\alpha\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha\alpha\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha\alpha\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；

我们用$(\alpha\alpha\alpha\alpha\alpha\alpha)(x)-2$来表示至少需要多少个$**$，$(\alpha\alpha\alpha\alpha\alpha^{** ** ... **})(x)$才小于$4$；

……

（翻到下一页继续）