立方体投影问题

没——问题

在一点光源照射下

一立方体的八个顶点在同一平面上产生投影（共8个投影点，立方体的其他部分不参与投影）

能否根据平面上的这8个投影点，计算出此点光源相对于投影平面的坐标

其中，立方体棱长已知，点光源与立方体的相对位置未知，也不确定立方体怎样摆放

chriswang

不可能，即使知道8个投影点在立方体上的对应关系也不可以。

没——问题

请证明之

mathe

我们首先考虑立方体任意方向四条平行的边的投影。
立方体的边和光源确定一个平面，这个平面同投影平面的交线就是这条边的投影。
我们现在考虑四条平行边和光源确定的平面的相交情况。
对于立方体两条平行边L1,L2和光源确定的平面相交得到的交线是一条通过光源的直线，而这条直线如果同L1相交于一点，那么必然同L2相交于同一点，同两条边平行矛盾，所以我们得出这两个平面的交线就是通过光源同L1和L2都平行的直线。
由此我们知道四条平行边和光源确定的四个平面相交于同一条同这些边平行的直线L（而且经过光源）。
所以我们知道，这四条平行边的投影要么平行（这时L同投影平面平行），要么相交于一点（就是L和投影平面的交点）

通过上面分析，我们知道立方体八个顶点的投影我们一定有三种方案可以将它们分成四组，每组两个点，是的每组内的点两两连接起来得到的四条直线平行或交于公共的一点。
通过这种方法，我们可以将这8个点和立方体八个顶点的对应关系先建立起来。

然后我们可三个方向边的投影的交点（如果平行，交点是个无穷远点）：
对于存在交点是无穷远点的情况，好像复杂一下，我没有继续分析下去，但是对于更加一般的情况，也就是投影平面和立方体所有的边都不平行的情况，我们可以得到三个交点。连接这三个交点和光源，我们知道这三条连线分别平行于立方体三个方向的边，所以它们相互垂直。如果假设三个交点两两间距离为a,b,c.而光源到三个交点距离为x,y,z,那么我们就可以根据勾股定理得到公式:
$a^2=y^2+z^2,b^2=z^2+x^2,c^2=x^2+y^2$
由此可以计算出x,y,z.所以通过这种方法，我们就可以确定光源的位置（有两个解，另外一个解是光源关于投影平面的对称位置）
此后，余下的问题就很简单了。我们已经知道立方体每个顶点在一条直线上（投影和光源的连线），而且立方体每条边的方向也知道了，边的长度也给定了，那么余下的就非常容易做了。

chriswang

你在做图像跟踪？

没——问题

赞！（赞4楼）

我把分析进口到数学吧了，特此声明

[ 本帖最后由 没——问题 于 2008-7-2 14:51 编辑 ]

zgg___

所以貌似：已知不共面空间四点间的相互位置关系和它们在某平面上对应的影子位置，就可以知道光源和这四点相对于这个平面的位置了。

chriswang

这个关系能建立起来吗？如何确定投影点和顶点这种关系是唯一的？

chriswang

开始考虑这个问题的时候， 我认为光源在立方体内部时也可以投影，所以即使确定投影点和顶点的关系也不确定光源位置。

没——问题

回复7楼
4点不可以