不等式证明

ccmmjj

这是我以前想出的一个式子。来试试水有多深。

已知：\(0\le a_i\le\dfrac12,\ i=1,2,3,\cdots,n\)，求证：\(\D\prod_{i=1}^{n}{a_i}+\prod_{i=1}^{n}{(1-a_i)}\ge\frac{1}{2^{n-1}}\)

mathe

仅将某个a_i看成变量，于是是线性，极值在边界才取到。而某个变量为0,结论显然，不然全1/2时极值也是

ccmmjj

这是描述性的语言。

kastin

ccmmjj 发表于 2015-4-26 13:09
这是描述性的语言。

mathe已经说得很清楚了，稍微想一下就能明白的。下面用数学语言稍微啰嗦地向你解释一下——
令 `b_i=1-a_i`，则 `a_i+b_i=1`，且由已知有 `a_i \in \left[0,\dfrac{1}{2}\right]`。这是一条线段上的点，即可行域。假若其中 `n-1` 取值已经固定（因为是目标函数是轮换式，故不妨设为前 `n-1` 个），那么只剩一个 `a_n` 和 `b_n` 需要确定。此时目标函数变成$$pa_n+qb_n$$形式，其中 `p,q` 为常数。

根据线性规划理论可知，极值仅仅在凸包的极点或边界上取到，而线段是最简单的一维凸包，因而极值存在时， `a_n`,`b_n` 要么可以在线段 `a_i+b_i=1\space(a_i \in \left[0,\dfrac{1}{2}\right])` 上任意取值，要么仅仅在线段端点上（即 `a_n=0 \;或\; \dfrac{1}{2}` ）取值。

当取定 `a_n,b_n`后，可按照同样方法再次分析 `a_{n-1}`，结论与上面类似。按照这种步骤下去，最终会发现，楼主所给目标函数极值取得存在两种可能：

第一种情形，要求目标函数与可行域边界平行（或者叫“相切”也行），因而要求 `p=q`，所以每一次分析过程中出现的的 `p_i=q_i`。为确保此条件成立，必须要求 `a_i=1-a_i`，所以此时 `a_i=\dfrac{1}{2}`（但还无法确定是极大值还是极小值）;

第二种情形就是在极点处取值，即 `a_i=0,b_i=1-a_i=1`（此时有极大值）或者 `a_i=\dfrac{1}{2},b_i=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}`（此时有极小值）。这时便能确定第一种情况是极小值情形。

ccmmjj

不知道 \(0\lt a_i\lt 1\) 时用这种分析法会有什么结果？

ccmmjj

所以说数学证明不能是这样的，虽然对每一个ai都是线性的，但结合在一起就不是线性的了。

ccmmjj

不知道 0<ai<1 时用这种分析法会有什么结果？ai=0时是极大值（极小值），还是ai=1时是极大值（极小值）？

kastin

ccmmjj 发表于 2015-4-30 12:53
不知道 0

看是极大值还是极小值，有两种方法：
1. 直接根据定义法，极大/小值就是局部最大/小值，比如取 `a_i=0` 这个 `n` 维空间点的邻域内的一个点代入，然后比较就知道了。不过这种方法并不总有效，因为这要求在这些点处是光滑的，否则还需要比较那些非光滑的点。

2. 若函数足够光滑，那么可直接求函数的二阶偏导数，判断 Hessian 矩阵是否非负定或者非正定即可。若仍无法判定，那么说明是鞍点（既非极大值也非极小值）。

上题中目标函数没有奇点，因为维度过高，所以我们选用方法1。比如，取`(0,0,...,0)^\mathrm{T}`邻域中一点 `(0.1,0,0,...,0)`, 带入便知 `a_i=0` 是极大值。同理，`a_i=1` 也是极大值。

另外，回复时请艾特(@)，否则没人知道你回复了帖子。

ccmmjj

kastin 发表于 2015-4-30 14:08
看是极大值还是极小值，有两种方法：
1. 直接根据定义法，极大/小值就是局部最大/小值，比如取 `a_i=0`  ...

谢谢你的回复，我知道你说的都是对的。近几天看过你很多帖子，象你这样有水平又热心的人不多了。只是你们习惯高观点了，这种解法一般人不太懂。
我转贴一个解法，以供品评。@kastin

kastin

ccmmjj 发表于 2015-4-30 14:55
谢谢你的回复，我知道你说的都是对的。近几天看过你很多帖子，象你这样有水平又热心的人不多了。只是你们 ...

不等式的范畴也非常广，除了常见的代数不等式之外，还有几何不等式、数论不等式、矩阵不等式，积分不等式、微分不等式、变分不等式、概率不等式、组合（学）不等式、拓扑不等式等。其中，代数不等式和几何不等式由于起点低，形式优美、方法初等但具有技巧性，因而一直受到数学爱好者的喜爱。

在代数不等式的非分析学证明（指不使用微积分相关等分析学知识）或者构造过程中，所涉及到的技巧和方法实在是太多了（比如数形结合，反证法、倒推法/综合法、第一/二类数学归纳法、各种代换、逐步调整、放缩、等价转换、利用统计或者概率思想或组合学思想，等等），而且部分推理过程非常巧妙，所以面对一道难题时，短时间想出巧妙简洁的方法是不太容易的（所以也有些人不大喜欢不等式），而分析学虽然有一般性的方法，但是显得较为繁琐（尤其是对于复杂形式的多元问题）。但不管怎样，能解出来才是最重要的，即“先回答有没有，然后再考虑好不好”——这一点在数学史上经常有体现。例如，许多伟大的数学家给出某些问题的第一个解答大多是复杂的方法或者不通用的方法，之后大家慢慢想出新的方法和巧妙的方法或是一般性的方法。就拿费马大定理来说，其证明过程是非常长的，使用了众多复杂的数学定理构成的逻辑链，虽然证实了猜想的正确性，但人们仍感到可惜的是，高斯到底是给我们开了一个玩笑而留下那句经典话语，还是他真的有初等的巧妙方法证明？

若你真的对不等式有很大兴趣，这里推荐一些非常经典的书：

1. 高中数学竞赛的相关教材，里面有常用重要不等式的介绍和使用讲解。记得高中时候有一本数学竞赛教材我感觉特别好，版面比较大，封面白色有编织纹理，只是名字忘了。

2. 著名数学家哈代的《不等式》，这本介绍还算比较全面，有一定分析学内容的介绍。

3. 范建熊（越南）著, 隋振林译的《不等式的秘密》（共两册），这一本是代数不等式的技巧精华，其技巧程度远远高出一般竞赛程度。

4. 陈计, 季潮丞《代数不等式》，与上面一样，主要是重要不等式的灵活巧妙的应用，以及一些特殊方法。