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楼主: ccmmjj

[游戏] 正三角形的一种面积四等分图

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发表于 2021-10-10 18:14:31 | 显示全部楼层

(1) 与(2)同时证明

【定义】(三角形的偏正量)对于复平面上的一个三角形ΔABC(逆时针方向),偏正量`\text{Bias}(A,B,C):=A+ωB+ω^2C`。
            注:`ω`即三次单位根。
【引理】复平面上的一个三角形ΔABC(正向)为正三角形的充要条件是 `\text{Bias}(A,B,C)=0`。
如图,设单比`(AE,F)=λ, (BF,D)=μ, (CD,E)=ν`, 并记`\bar λ=1-λ, \bar μ=1-μ, \bar ν=1-ν`,则\[\begin{equation}
A=λE+\bar λF,B=μF+\bar μD,C=νD+\bar νE
\end{equation}\]由外围三个Δ的面积相等(设为`s`,ΔDEF面积不妨设为 1),可得方程\[\begin{equation}λ\barμ=μ\barν=v\barλ=-s\end{equation}\]2#已经解出来了  `λ=μ=ν`,代入(1) 式计算三角形的偏正量得    `\text{Bias}(A,B,C)=(λ+\barλω^2)\text{Bias}(E,F,D)`.
可见 ΔABC为正Δ iff ΔDEF为正三角形.

点评

@ mathe `S_{ΔAFD}=S_{ΔDEF}·(AE,F)=λ, s=S_{ΔABF}=S_{ΔAFD}·BF/FD=λ·(μ-1)`  发表于 2021-10-13 11:24
看到了,2#先仿射把DEF变化为正三角形  发表于 2021-10-13 07:24
面积相等到$\lambda \bar{\mu} = \mu \bar{\nu}$是怎么得出的?过程复杂吗?  发表于 2021-10-13 07:20
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-10-11 09:34:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-10-11 10:22 编辑
mathe 发表于 2021-10-10 09:30
如图,三角形ABC中,直线i,j,k分别平行各底边而且分另外两条边比例为1:3.
在直线i上任意选择一点I,那么 ...


已知 \(BC=\sin(A)\ \ CA=\sin(B)\ \ AB=\sin(C)\)  记\(\ \ ∠BAJ=a\ \ \ ∠CBK=b\ \ \ ∠ACI=c\)

解方程  \(\D\frac{\sin(A)\sin(B)\sin(C)\ \ }{4}=\frac{\sin(A)\sin(b)\sin(C-c)\ \ }{\sin(b+C-c)}=\frac{\sin(B)\sin(c)\sin(A-a)\ \ }{\sin(c+A-a)}=\frac{\sin(C)\sin(a)\sin(B-b)\ \ }{\sin(a+B-b)}\)
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发表于 2021-10-14 11:04:00 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-10-11 09:34
已知 \(BC=\sin(A)\ \ CA=\sin(B)\ \ AB=\sin(C)\)  记\(\ \ ∠BAJ=a\ \ \ ∠CBK=b\ \ \ ∠ACI=c\)

...

1,若ABC是正三角形,则DEF也是正三角形。
记DE=EF=FD=1,则AB=BC=CE=2
\(AF=BD=CE=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)
\(AE=BF=CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
\(\frac{AE'}{BE'}=\frac{BF'}{CF'}=\frac{CD'}{AD'}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
E'  F'  D' 是延长线上的点。

2,若ABC不是正三角形,则DEF也不是正三角形。
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