正三角形的一种面积四等分图

hujunhua

【定义】（三角形的偏正量）对于复平面上的一个三角形ΔABC（逆时针方向），偏正量`\text{Bias}(A,B,C):=A+ωB+ω^2C`。
            注：`ω`即三次单位根。
【引理】复平面上的一个三角形ΔABC（正向）为正三角形的充要条件是 `\text{Bias}(A,B,C)=0`。
如图，设单比`(AE,F)=λ, (BF,D)=μ, (CD,E)=ν`, 并记`\bar λ=1-λ, \bar μ=1-μ, \bar ν=1-ν`，则\[\begin{equation}
A=λE+\bar λF,B=μF+\bar μD,C=νD+\bar νE
\end{equation}\]由外围三个Δ的面积相等（设为`s`，ΔDEF面积不妨设为 1)，可得方程\[\begin{equation}λ\barμ=μ\barν=v\barλ=-s\end{equation}\]2#已经解出来了  `λ=μ=ν`,代入(1) 式计算三角形的偏正量得    `\text{Bias}(A,B,C)=(λ+\barλω^2)\text{Bias}(E,F,D)`.
可见 ΔABC为正Δ iff ΔDEF为正三角形.

王守恩

mathe 发表于 2021-10-10 09:30
如图，三角形ABC中，直线i,j,k分别平行各底边而且分另外两条边比例为1:3.
在直线i上任意选择一点I,那么 ...

已知 \(BC=\sin(A)\ \ CA=\sin(B)\ \ AB=\sin(C)\)  记\(\ \ ∠BAJ=a\ \ \ ∠CBK=b\ \ \ ∠ACI=c\)

解方程  \(\D\frac{\sin(A)\sin(B)\sin(C)\ \ }{4}=\frac{\sin(A)\sin(b)\sin(C-c)\ \ }{\sin(b+C-c)}=\frac{\sin(B)\sin(c)\sin(A-a)\ \ }{\sin(c+A-a)}=\frac{\sin(C)\sin(a)\sin(B-b)\ \ }{\sin(a+B-b)}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-11 09:34
已知 \(BC=\sin(A)\ \ CA=\sin(B)\ \ AB=\sin(C)\)  记\(\ \ ∠BAJ=a\ \ \ ∠CBK=b\ \ \ ∠ACI=c\)

...

1，若ABC是正三角形，则DEF也是正三角形。
记DE=EF=FD=1，则AB=BC=CE=2
\(AF=BD=CE=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)
\(AE=BF=CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
\(\frac{AE'}{BE'}=\frac{BF'}{CF'}=\frac{CD'}{AD'}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
E'  F'  D' 是延长线上的点。

2，若ABC不是正三角形，则DEF也不是正三角形。

hujunhua

hujunhua 发表于 2021-10-10 18:14
【定义】（三角形的偏正量）对于复平面上的一个三角形ΔABC（逆时针方向），偏正量`\text{Bias}(A,B,C):=A+ ...

最近一段时间见识了三角形偏正量一种更好的定义：\[\begin{split}
\text{bias}(A,B,C)&=\frac{(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2}2\\
&=A^2+B^2+C^2-A·B-B·C-C·A\\
&=\text{Bias}(A,B,C)·\text{Bias}(A,C,B)
\end{split}\]比11#的定义好在它不依赖于顶点的顺序，并具有唯一性.
(*按11#的定义其实可以有三个偏正量： `\text{Bias}(A,B,C)，ω·\text{Bias}(A,B,C)，ω^2·\text{Bias}(A,B,C)`。*)
这样定义的偏正量是一个自由向量，与坐标原点无关。它与由边长差方和定义的实偏正量\[
\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}2=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
\]具有相似的表达式，也具有一样的判别功能：三角形为正三角形当且仅当其偏正量为0.

用于11#的证明，有`\text{bias}(A,B,C)=(λ^2-λ+1)\text{bias}(D,E,F)`.

王守恩

1楼：正三角形DEF面积是正三角形ABC面积的 n 分之一。  n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

\(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=\frac{DF^2}{BC^2}=\frac{(DB-BF)^2}{BC^2}=\frac{(DB-DC)^2}{BC^2}=\frac{(\sin(\pi/3-x)-\sin(x))^2}{\sin(\pi/3)*\sin(\pi/3)}=\frac{1}{n}\)

Table[NSolve[{(Sin[\[Pi]/3 - x] - Sin[x])^2/(Sin[\[Pi]/3] Sin[\[Pi]/3]) == 1/n, \[Pi]/6 > x >= 0}, {x}], {n, 1,9}]

{{{x -> 0.}}, {{x -> 0.162232}}, {{x -> 0.230756}}, {{x -> 0.270919}}, {{x -> 0.298085}}, {{x -> 0.31803}}, {{x -> 0.333473}}, {{x -> 0.345888}}, {{x -> 0.356151}}}