定角中的共点三线极值问题

数学星空

设定角\(\angle TAV= A\)内有一个动点\(P\),满足\(PA=a,PB=b,PC=c\),且\(a,b,c\)是给定的长度,其中点\(B,C\)分别在射线\(AT,AV\)上,求下面问题:

1.求 \(\triangle ABC\)面积 的最大值\(S_1\)?

2.求 \(\triangle ABC\)面积 的最小值 \(S_0\)?

3.求 \(\triangle ABC\)周长 的最大值\(L_1\)?

4.求 \(\triangle ABC\)周长 的最小值 \(L_0\)?

注:1~2来自于何万程发在人教论坛数学官方群的问题. \(0 \lt  A \lt \pi \)

ccmmjj

A是定点，B、C是动点？P在确定圆弧上？是这个意思吧。A一字母不能两用，老兄最好改一下。

倪举鹏

面积最大要满足∠PCA=∠PBA，面积最小也满足这个，不过∠PCA=∠PBA是钝角，需要a大于b与c
周长问题有点复杂

kastin

关键约束条件是角度，如果用余弦定理转换，则变一个非常复杂的二元条件极值问题，解析解还不知有没有。

hujunhua

如果使用几何特征来描述驻点条件，角度就不是什么障碍。随便找一个特殊角（比如90度，60度等）来做，所得结果可以向一般角类推。

creasson

与http://bbs.emath.ac.cn/thread-6219-1-1.html问题的解决方式大致相同

数学星空

为了便于计算,我们记 \(\triangle ABC\)的面积为\(s\)

\(\angle PAB=\alpha\),\(\angle PAC=\beta=A-\alpha\)

\(\cos(\alpha)=n,\cos(\beta)=m,\sin(A)=k\)

对于1~2问题:

则有方程

\(c^2=a^2+y^2-2aym\)

\(b^2=a^2+z^2-2azn\)

\(2s=yzk\)

\(k=m\sqrt{1-n^2}+n\sqrt{1-m^2}\)

消元可以得到如下两个方程

\(-8a^2mn(a-c)(a+c)(a-b)(a+b)s+(64a^4m^2+64a^4n^2-64a^2b^2m^2-64a^2c^2n^2-32a^4+32a^2b^2+32a^2c^2-32b^2c^2)s^2-96a^2mns^3+16s^4+625(a-c)^2(a+c)^2(a-b)^2(a+b)^2=0\).................(1)

\(4k^2m^2n^2+k^4-2k^2m^2-2k^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=0\)................................(2)

显然问题归结于求解(1),(2)关于\(s\)的极值

若\(\alpha=\beta\)则有\(m=n\)

容易算得\(s\)满足如下方程:

\(-5000a^2(a-c)^3(a+c)^3(a-b)^3(a+b)^3s+64(a-c)^2(a+c)^2(a-b)^2(a+b)^2(626a^4-625b^2c^2)s^2-32a^2(a-c)(a+c)(a-b)(a+b)(2011a^4-1939a^2b^2-1939a^2c^2+1867b^2c^2)s^3+(88608a^8-107584a^6b^2-107584a^6c^2+35360a^4b^4+114816a^4b^2c^2+35360a^4c^4-40000a^2b^4c^2-40000a^2b^2c^4+21024b^4c^4)s^4-128a^2(1177a^4-577a^2b^2-577a^2c^2-23b^2c^2)s^5+(83968a^4-1024b^2c^2)s^6-1536a^2s^7+256s^8+390625(a-c)^4(a+c)^4(a-b)^4(a+b)^4=0\)

倪举鹏

我上面已经用微元法得出面积极值的几何条件了。   周长极值不用研究了，没有什么特殊几何条件

数学星空

若\(y=z\),则有:

\(-(8(b^2+c^2))(2a^4-2a^2b^2-2a^2c^2+b^4+c^4)s+(3584a^4-512a^2b^2-512a^2c^2+320b^4+896b^2c^2+320c^4)s^2+(-1728b^2-1728c^2)s^3+1024s^4+62500a^8-125000a^6b^2-125000a^6c^2+65000a^4b^4+245000a^4b^2c^2+65000a^4c^4-2500a^2b^6-122500a^2b^4c^2-122500a^2b^2c^4-2500a^2c^6+625b^8+61250b^4c^4+625c^8\)

数学星空

按照5# hujunhua提出的计算方案:

1.对于\(A=90^\circ,k=1\)得到:

\(16(a-c)^2(a+c)^2(a-b)^2(a+b)^2(2499a^4-2500b^2c^2)s^2+(32(a-c))(a+c)(a-b)(a+b)(645a^4-593a^2b^2-593a^2c^2+657b^2c^2)s^4+(-1280a^4-1024b^2c^2)s^6+256s^8+390625(a-c)^4(a+c)^4(a-b)^4(a+b)^4=0\)

2.对于\(A=60^\circ,k=\frac{\sqrt{3}}{2}\)得到:

\( -2500a^2(a-c)^3(a+c)^3(a-b)^3(a+b)^3s+4(a-c)^2(a+c)^2(a-b)^2(a+b)^2(9997a^4-10000b^2c^2)s^2-29872a^2(a-c)^2(a+c)^2(a-b)^2(a+b)^2s^3+(32(a-c))(a+c)(a-b)(a+b)(616a^4-593a^2b^2-593a^2c^2+657b^2c^2)s^4+1472a^2(a-c)(a+c)(a-b)(a+b)s^5+(-704a^4-1024b^2c^2)s^6-768a^2s^7+256s^8+390625(a-c)^4(a+c)^4(a-b)^4(a+b)^4=0\)