定角中的共点三线极值问题

倪举鹏

如果是求AC+AB的极值，需要满足sinCPA/sinBPA=cosPCA/cosPBA
周长极值就难了，一长串关系式没法化简了

数学星空

若要求\(\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ\),则需要满足条件:设\( \cos(A)=k\)

\(4k^2(a^2+ac+c^2)(a^2+ab+b^2)-(2a^2+ab+ac-bc)^2=0\)

数学星空

对于问题1~2,就是求解下列关于\(s\)的极值问题,变量是\(n\)

\(k^8(a-c)^4(a+c)^4(a-b)^4(a+b)^4-32a^2k^2s(a^4k^2-a^2b^2k^2-a^2c^2k^2+b^2c^2k^2+4s^2)(a^8k^4-2a^6b^2k^4-2a^6c^2k^4+a^4b^4k^4+4a^4b^2c^2k^4+a^4c^4k^4-2a^2b^4c^2k^4-2a^2b^2c^4k^4+b^4c^4k^4+16a^4k^4s^2-16a^2c^2k^4s^2-8a^4k^2s^2-8a^2b^2k^2s^2+24a^2c^2k^2s^2-8b^2c^2k^2s^2+16s^4)n+(4a^{16}k^8-16a^{14}b^2k^8-16a^{14}c^2k^8+24a^{12}b^4k^8+64a^{12}b^2c^2k^8+24a^{12}c^4k^8-16a^{10}b^6k^8-96a^{10}b^4c^2k^8-96a^{10}b^2c^4k^8-16a^{10}c^6k^8+4a^8b^8k^8+64a^8b^6c^2k^8+144a^8b^4c^4k^8+64a^8b^2c^6k^8+4a^8c^8k^8-16a^6b^8c^2k^8-96a^6b^6c^4k^8-96a^6b^4c^6k^8-16a^6b^2c^8k^8+24a^4b^8c^4k^8+64a^4b^6c^6k^8+24a^4b^4c^8k^8-16a^2b^8c^6k^8-16a^2b^6c^8k^8+4b^8c^8k^8+128a^{12}k^8s^2-256a^{10}b^2k^8s^2-384a^{10}c^2k^8s^2+128a^8b^4k^8s^2+768a^8b^2c^2k^8s^2+384a^8c^4k^8s^2-384a^6b^4c^2k^8s^2-768a^6b^2c^4k^8s^2-128a^6c^6k^8s^2+384a^4b^4c^4k^8s^2+256a^4b^2c^6k^8s^2-128a^2b^4c^6k^8s^2+192a^{12}k^6s^2-320a^{10}b^2k^6s^2-320a^{10}c^2k^6s^2+64a^8b^4k^6s^2+448a^8b^2c^2k^6s^2+64a^8c^4k^6s^2+1024a^8k^8s^4+64a^6b^6k^6s^2+64a^6b^4c^2k^6s^2+64a^6b^2c^4k^6s^2+64a^6c^6k^6s^2-2048a^6c^2k^8s^4-192a^4b^6c^2k^6s^2-320a^4b^4c^4k^6s^2-192a^4b^2c^6k^6s^2+1024a^4c^4k^8s^4+192a^2b^6c^4k^6s^2+192a^2b^4c^6k^6s^2-64b^6c^6k^6s^2+3072a^8k^6s^4-3072a^6b^2k^6s^4-2048a^6c^2k^6s^4+2048a^4b^2c^2k^6s^4-1024a^4c^4k^6s^4+1024a^2b^2c^4k^6s^4-1664a^8k^4s^4+1280a^6b^2k^4s^4+1280a^6c^2k^4s^4-640a^4b^4k^4s^4+1536a^4b^2c^2k^4s^4-640a^4c^4k^4s^4-768a^2b^4c^2k^4s^4-768a^2b^2c^4k^4s^4+384b^4c^4k^4s^4+2048a^4k^4s^6-2048a^2c^2k^4s^6+3072a^4k^2s^6+1024a^2b^2k^2s^6+1024a^2c^2k^2s^6-1024b^2c^2k^2s^6+1024s^8)n^2-32a^2k^2s(a^4k^2-a^2b^2k^2-a^2c^2k^2+b^2c^2k^2+4s^2)(a^8k^4-2a^6b^2k^4-2a^6c^2k^4+a^4b^4k^4+4a^4b^2c^2k^4+a^4c^4k^4-2a^2b^4c^2k^4-2a^2b^2c^4k^4+b^4c^4k^4+16a^4k^4s^2-16a^2c^2k^4s^2-8a^4k^2s^2+56a^2b^2k^2s^2-40a^2c^2k^2s^2-8b^2c^2k^2s^2+16s^4)n^3+(6a^{16}k^8-24a^{14}b^2k^8-24a^{14}c^2k^8+36a^{12}b^4k^8+96a^{12}b^2c^2k^8+36a^{12}c^4k^8-24a^{10}b^6k^8-144a^{10}b^4c^2k^8-144a^{10}b^2c^4k^8-24a^{10}c^6k^8+6a^8b^8k^8+96a^8b^6c^2k^8+216a^8b^4c^4k^8+96a^8b^2c^6k^8+6a^8c^8k^8-24a^6b^8c^2k^8-144a^6b^6c^4k^8-144a^6b^4c^6k^8-24a^6b^2c^8k^8+36a^4b^8c^4k^8+96a^4b^6c^6k^8+36a^4b^4c^8k^8-24a^2b^8c^6k^8-24a^2b^6c^8k^8+6b^8c^8k^8+192a^{12}k^8s^2-384a^{10}b^2k^8s^2-704a^{10}c^2k^8s^2+192a^8b^4k^8s^2+1408a^8b^2c^2k^8s^2+832a^8c^4k^8s^2-704a^6b^4c^2k^8s^2-1664a^6b^2c^4k^8s^2-320a^6c^6k^8s^2+832a^4b^4c^4k^8s^2+640a^4b^2c^6k^8s^2-320a^2b^4c^6k^8s^2-608a^{12}k^6s^2+1376a^{10}b^2k^6s^2+1376a^{10}c^2k^6s^2-928a^8b^4k^6s^2-3168a^8b^2c^2k^6s^2-928a^8c^4k^6s^2+1536a^8k^8s^4+160a^6b^6k^6s^2+2208a^6b^4c^2k^6s^2+2208a^6b^2c^4k^6s^2+160a^6c^6k^6s^2-3072a^6c^2k^8s^4-416a^4b^6c^2k^6s^2-1632a^4b^4c^4k^6s^2-416a^4b^2c^6k^6s^2+1536a^4c^4k^8s^4+352a^2b^6c^4k^6s^2+352a^2b^4c^6k^6s^2-96b^6c^6k^6s^2-9728a^8k^6s^4+10752a^6b^2k^6s^4+11264a^6c^2k^6s^4-13312a^4b^2c^2k^6s^4-1536a^4c^4k^6s^4+2560a^2b^2c^4k^6s^4+4672a^8k^4s^4-5760a^6b^2k^4s^4-5760a^6c^2k^4s^4+2624a^4b^4k^4s^4+4352a^4b^2c^2k^4s^4+2624a^4c^4k^4s^4-1664a^2b^4c^2k^4s^4-1664a^2b^2c^4k^4s^4+576b^4c^4k^4s^4+3072a^4k^4s^6-5120a^2c^2k^4s^6-9728a^4k^2s^6+2560a^2b^2k^2s^6+2560a^2c^2k^2s^6-1536b^2c^2k^2s^6+1536s^8)n^4+32a^2k^2s(a^4k^2-a^2b^2k^2-a^2c^2k^2+b^2c^2k^2+4s^2)(a^8k^4-2a^6b^2k^4-2a^6c^2k^4+a^4b^4k^4+4a^4b^2c^2k^4+a^4c^4k^4-2a^2b^4c^2k^4-2a^2b^2c^4k^4+b^4c^4k^4+16a^4k^4s^2-16a^2c^2k^4s^2-8a^4k^2s^2+56a^2b^2k^2s^2-40a^2c^2k^2s^2-8b^2c^2k^2s^2+16s^4)n^5+(4a^{16}k^8-16a^{14}b^2k^8-16a^{14}c^2k^8+24a^{12}b^4k^8+64a^{12}b^2c^2k^8+24a^{12}c^4k^8-16a^{10}b^6k^8-96a^{10}b^4c^2k^8-96a^{10}b^2c^4k^8-16a^{10}c^6k^8+4a^8b^8k^8+64a^8b^6c^2k^8+144a^8b^4c^4k^8+64a^8b^2c^6k^8+4a^8c^8k^8-16a^6b^8c^2k^8-96a^6b^6c^4k^8-96a^6b^4c^6k^8-16a^6b^2c^8k^8+24a^4b^8c^4k^8+64a^4b^6c^6k^8+24a^4b^4c^8k^8-16a^2b^8c^6k^8-16a^2b^6c^8k^8+4b^8c^8k^8+128a^{12}k^8s^2-256a^{10}b^2k^8s^2-384a^{10}c^2k^8s^2+128a^8b^4k^8s^2+768a^8b^2c^2k^8s^2+384a^8c^4k^8s^2-384a^6b^4c^2k^8s^2-768a^6b^2c^4k^8s^2-128a^6c^6k^8s^2+384a^4b^4c^4k^8s^2+256a^4b^2c^6k^8s^2-128a^2b^4c^6k^8s^2+192a^{12}k^6s^2-320a^{10}b^2k^6s^2-320a^{10}c^2k^6s^2+64a^8b^4k^6s^2+448a^8b^2c^2k^6s^2+64a^8c^4k^6s^2+1024a^8k^8s^4+64a^6b^6k^6s^2+64a^6b^4c^2k^6s^2+64a^6b^2c^4k^6s^2+64a^6c^6k^6s^2-2048a^6c^2k^8s^4-192a^4b^6c^2k^6s^2-320a^4b^4c^4k^6s^2-192a^4b^2c^6k^6s^2+1024a^4c^4k^8s^4+192a^2b^6c^4k^6s^2+192a^2b^4c^6k^6s^2-64b^6c^6k^6s^2+3072a^8k^6s^4-3072a^6b^2k^6s^4-2048a^6c^2k^6s^4+2048a^4b^2c^2k^6s^4-1024a^4c^4k^6s^4+1024a^2b^2c^4k^6s^4-1664a^8k^4s^4+1280a^6b^2k^4s^4+1280a^6c^2k^4s^4-640a^4b^4k^4s^4+1536a^4b^2c^2k^4s^4-640a^4c^4k^4s^4-768a^2b^4c^2k^4s^4-768a^2b^2c^4k^4s^4+384b^4c^4k^4s^4+2048a^4k^4s^6-2048a^2c^2k^4s^6+3072a^4k^2s^6+1024a^2b^2k^2s^6+1024a^2c^2k^2s^6-1024b^2c^2k^2s^6+1024s^8)n^6+32a^2k^2s(a^4k^2-a^2b^2k^2-a^2c^2k^2+b^2c^2k^2+4s^2)(a^8k^4-2a^6b^2k^4-2a^6c^2k^4+a^4b^4k^4+4a^4b^2c^2k^4+a^4c^4k^4-2a^2b^4c^2k^4-2a^2b^2c^4k^4+b^4c^4k^4+16a^4k^4s^2-16a^2c^2k^4s^2-8a^4k^2s^2-8a^2b^2k^2s^2+24a^2c^2k^2s^2-8b^2c^2k^2s^2+16s^4)n^7+(a^8k^4-4a^7ck^4-2a^6b^2k^4+6a^6c^2k^4+8a^5b^2ck^4-4a^5c^3k^4+a^4b^4k^4-12a^4b^2c^2k^4+a^4c^4k^4-4a^3b^4ck^4+8a^3b^2c^3k^4+6a^2b^4c^2k^4-2a^2b^2c^4k^4-4ab^4c^3k^4+b^4c^4k^4+16a^4k^4s^2-32a^3ck^4s^2+16a^2c^2k^4s^2-8a^4k^2s^2+16a^3ck^2s^2-8a^2b^2k^2s^2-8a^2c^2k^2s^2+16ab^2ck^2s^2-8b^2c^2k^2s^2+16s^4)(a^8k^4+4a^7ck^4-2a^6b^2k^4+6a^6c^2k^4-8a^5b^2ck^4+4a^5c^3k^4+a^4b^4k^4-12a^4b^2c^2k^4+a^4c^4k^4+4a^3b^4ck^4-8a^3b^2c^3k^4+6a^2b^4c^2k^4-2a^2b^2c^4k^4+4ab^4c^3k^4+b^4c^4k^4+16a^4k^4s^2+32a^3ck^4s^2+16a^2c^2k^4s^2-8a^4k^2s^2-16a^3ck^2s^2-8a^2b^2k^2s^2-8a^2c^2k^2s^2-16ab^2ck^2s^2-8b^2c^2k^2s^2+16s^4)n^8=0\)

注:\(\cos(\beta)=\frac{1-n^2}{1+n^2},\sin(\beta)=\frac{2n}{1+n^2},k=\sin(A)\)

数学星空

转换一个变量消元,即先消元{m,n},就可很容易得到最终结果:

A.面积\(s\)取极值满足下列方程:

\(k^4(a-c)^2(a+c)^2(a-b)^2(a+b)^2-8k^3cb(a-c)(a+c)(a-b)(a+b)s+8k^2(2k^2a^4-a^4-a^2c^2-a^2b^2+3c^2b^2)s^2-32bcks^3+16s^4=0\)

B1.面积\(s\)取极值时,夹角两边长\(y,z\)满足下列方程\(P\)点位于角\(A\)内时

\((b^4+c^4+4k^2c^2b^2-2c^2b^2)(a-c)^4(a+c)^4-4(a-c)^2(a+c)^2(b^4a^2-2a^2c^2b^2-2k^2a^2c^4+2k^2a^2c^2b^2+c^4a^2+4k^2c^4b^2+c^6+b^4c^2-2b^2c^4)y^2+(6c^4b^4-12c^6b^2+6a^4b^4-12a^4c^2b^2+16k^4a^4c^4-16k^2c^4a^4-16a^2c^6k^2+24k^2c^6b^2-8a^2b^2c^4+4a^2b^4c^2+8k^2a^4c^2b^2+6c^4a^4+4c^6a^2+6c^8)y^4+(-4b^4c^2+8b^2c^4-4b^4a^2+8k^2a^2c^4-16k^2c^4b^2+8a^2c^2b^2-8k^2a^2c^2b^2-4c^4a^2-4c^6)y^6+(b^4+c^4+4k^2c^2b^2-2c^2b^2)y^8=0\)

\((b^4+c^4+4k^2c^2b^2-2c^2b^2)(a-b)^4(a+b)^4+4(a-b)^2(a+b)^2(-b^4a^2-c^4a^2+2a^2c^2b^2+2k^2a^2b^4-2k^2a^2c^2b^2-b^6+2b^4c^2-4k^2c^2b^4-b^2c^4)z^2+(6b^8+6a^4b^4+4a^2b^6+6c^4a^4+6c^4b^4-12b^6c^2-12a^4c^2b^2-8a^2b^4c^2+4a^2b^2c^4+16k^4a^4b^4-16b^4k^2a^4-16a^2b^6k^2+24b^6c^2k^2+8k^2a^4c^2b^2)z^4+(-4b^6-4b^4a^2-4b^2c^4+8b^4c^2-4c^4a^2+8a^2c^2b^2+8k^2a^2b^4-16k^2c^2b^4-8k^2a^2c^2b^2)z^6+(b^4+c^4+4k^2c^2b^2-2c^2b^2)z^8=0\)

B2.面积\(s\)取极值时,夹角两边长\(y,z\)满足下列方程:  \(P\)点位于角\(A\)外时

1. (a-b)^8*(a+b)^8*(256*a^8*k^4-256*a^6*b^2*k^4-256*a^6*c^2*k^4+64*a^4*b^4*k^4+256*a^4*b^2*c^2*k^4+64*a^4*c^4*k^4-64*a^2*b^4*c^2*k^4-64*a^2*b^2*c^4*k^4+16*b^4*c^4*k^4-512*a^8*k^2+512*a^6*b^2*k^2+512*a^6*c^2*k^2-160*a^4*b^4*k^2-320*a^4*b^2*c^2*k^2-160*a^4*c^4*k^2+16*a^2*b^6*k^2+48*a^2*b^4*c^2*k^2+48*a^2*b^2*c^4*k^2+16*a^2*c^6*k^2+8*b^6*c^2*k^2-16*b^4*c^4*k^2+8*b^2*c^6*k^2+256*a^8-256*a^6*b^2-256*a^6*c^2+96*a^4*b^4+64*a^4*b^2*c^2+96*a^4*c^4-16*a^2*b^6+16*a^2*b^4*c^2+16*a^2*b^2*c^4-16*a^2*c^6+b^8-4*b^6*c^2+6*b^4*c^4-4*b^2*c^6+c^8)-8*(a-b)^6*(a+b)^6*(256*a^10*k^6-256*a^8*b^2*k^6-128*a^8*c^2*k^6+64*a^6*b^4*k^6+128*a^6*b^2*c^2*k^6-32*a^4*b^4*c^2*k^6-768*a^10*k^4+896*a^8*b^2*k^4+384*a^8*c^2*k^4-368*a^6*b^4*k^4-256*a^6*b^2*c^2*k^4-16*a^6*c^4*k^4+56*a^4*b^6*k^4+80*a^4*b^4*c^2*k^4+24*a^4*b^2*c^4*k^4-8*a^2*b^6*c^2*k^4-56*a^2*b^4*c^4*k^4+16*b^6*c^4*k^4+768*a^10*k^2-1024*a^8*b^2*k^2-384*a^8*c^2*k^2+560*a^6*b^4*k^2+128*a^6*b^2*c^2*k^2+16*a^6*c^4*k^2-144*a^4*b^6*k^2+8*a^4*b^4*c^2*k^2+8*a^4*c^6*k^2+14*a^2*b^8*k^2-22*a^2*b^6*c^2*k^2+66*a^2*b^4*c^4*k^2+6*a^2*b^2*c^6*k^2+8*b^8*c^2*k^2-16*b^6*c^4*k^2+8*b^4*c^6*k^2-256*a^10+384*a^8*b^2+128*a^8*c^2-256*a^6*b^4+88*a^4*b^6-56*a^4*b^4*c^2-24*a^4*b^2*c^4-8*a^4*c^6-15*a^2*b^8+28*a^2*b^6*c^2-10*a^2*b^4*c^4-4*a^2*b^2*c^6+a^2*c^8+b^10-4*b^8*c^2+6*b^6*c^4-4*b^4*c^6+b^2*c^8)*z^2+4*(a-b)^4*(a+b)^4*(1024*a^12*k^8-1024*a^10*b^2*k^8+256*a^8*b^4*k^8-5120*a^12*k^6+7168*a^10*b^2*k^6+512*a^10*c^2*k^6-3712*a^8*b^4*k^6+768*a^8*b^2*c^2*k^6+704*a^6*b^6*k^6-704*a^6*b^4*c^2*k^6+160*a^4*b^6*c^2*k^6+8960*a^12*k^4-15104*a^10*b^2*k^4-1280*a^10*c^2*k^4+10368*a^8*b^4*k^4-2816*a^8*b^2*c^2*k^4-128*a^8*c^4*k^4-3232*a^6*b^6*k^4+3264*a^6*b^4*c^2*k^4+608*a^6*b^2*c^4*k^4+376*a^4*b^8*k^4-1296*a^4*b^6*c^2*k^4+392*a^4*b^4*c^4*k^4+224*a^2*b^8*c^2*k^4-384*a^2*b^6*c^4*k^4+112*b^8*c^4*k^4-6656*a^12*k^2+12800*a^10*b^2*k^2+1024*a^10*c^2*k^2-10656*a^8*b^4*k^2+3136*a^8*b^2*c^2*k^2+224*a^8*c^4*k^2+4528*a^6*b^6*k^2-4240*a^6*b^4*c^2*k^2-944*a^6*b^2*c^4*k^2+16*a^6*c^6*k^2-984*a^4*b^8*k^2+2128*a^4*b^6*c^2*k^2-536*a^4*b^4*c^4*k^2+32*a^4*b^2*c^6*k^2+88*a^2*b^10*k^2-520*a^2*b^8*c^2*k^2+584*a^2*b^6*c^4*k^2-24*a^2*b^4*c^6*k^2+56*b^10*c^2*k^2-112*b^8*c^4*k^2+56*b^6*c^6*k^2+1792*a^12-3840*a^10*b^2-256*a^10*c^2+3744*a^8*b^4-1088*a^8*b^2*c^2-96*a^8*c^4-2000*a^6*b^6+1680*a^6*b^4*c^2+336*a^6*b^2*c^4-16*a^6*c^6+615*a^4*b^8-988*a^4*b^6*c^2+138*a^4*b^4*c^4-28*a^4*b^2*c^6+7*a^4*c^8-102*a^2*b^10+264*a^2*b^8*c^2-212*a^2*b^6*c^4+40*a^2*b^4*c^6+10*a^2*b^2*c^8+7*b^12-28*b^10*c^2+42*b^8*c^4-28*b^6*c^6+7*b^4*c^8)*z^4+8*(a-b)^2*(a+b)^2*(2048*a^14*k^8-4096*a^12*b^2*k^8+2816*a^10*b^4*k^8-640*a^8*b^6*k^8-7936*a^14*k^6+17664*a^12*b^2*k^6-128*a^12*c^2*k^6-15040*a^10*b^4*k^6+2432*a^10*b^2*c^2*k^6+5632*a^8*b^6*k^6-4000*a^8*b^4*c^2*k^6-800*a^6*b^8*k^6+2592*a^6*b^6*c^2*k^6-608*a^4*b^8*c^2*k^6+11520*a^14*k^4-28288*a^12*b^2*k^4+384*a^12*c^2*k^4+28560*a^10*b^4*k^4-7168*a^10*b^2*c^2*k^4-16*a^10*c^4*k^4-14440*a^8*b^6*k^4+12240*a^8*b^4*c^2*k^4+56*a^8*b^2*c^4*k^4+3696*a^6*b^8*k^4-8904*a^6*b^6*c^2*k^4+600*a^6*b^4*c^4*k^4-376*a^4*b^10*k^4+3008*a^4*b^8*c^2*k^4-792*a^4*b^6*c^4*k^4-392*a^2*b^10*c^2*k^4+424*a^2*b^8*c^4*k^4-112*b^10*c^4*k^4-7424*a^14*k^2+19968*a^12*b^2*k^2-384*a^12*c^2*k^2-23248*a^10*b^4*k^2+7040*a^10*b^2*c^2*k^2+16*a^10*c^4*k^2+14608*a^8*b^6*k^2-12408*a^8*b^4*c^2*k^2-32*a^8*b^2*c^4*k^2+8*a^8*c^6*k^2-5250*a^6*b^8*k^2+9722*a^6*b^6*c^2*k^2-1358*a^6*b^4*c^4*k^2-42*a^6*b^2*c^6*k^2+1012*a^4*b^10*k^2-3876*a^4*b^8*c^2*k^2+1612*a^4*b^6*c^4*k^2-28*a^4*b^4*c^6*k^2-82*a^2*b^12*k^2+762*a^2*b^10*c^2*k^2-702*a^2*b^8*c^4*k^2+86*a^2*b^6*c^6*k^2-56*b^12*c^2*k^2+112*b^10*c^4*k^2-56*b^8*c^6*k^2+1792*a^14-5248*a^12*b^2+128*a^12*c^2+6912*a^10*b^4-2304*a^10*b^2*c^2-5160*a^8*b^6+4168*a^8*b^4*c^2-24*a^8*b^2*c^4-8*a^8*c^6+2361*a^6*b^8-3412*a^6*b^6*c^2+758*a^6*b^4*c^4+44*a^6*b^2*c^6-7*a^6*c^8-657*a^4*b^10+1452*a^4*b^8*c^2-814*a^4*b^6*c^4+28*a^4*b^4*c^6-9*a^4*b^2*c^8+103*a^2*b^12-316*a^2*b^10*c^2+314*a^2*b^8*c^4-92*a^2*b^6*c^6-9*a^2*b^4*c^8-7*b^14+28*b^12*c^2-42*b^10*c^4+28*b^8*c^6-7*b^6*c^8)*z^6+(24576*a^16*k^8-73728*a^14*b^2*k^8+83968*a^12*b^4*k^8-43008*a^10*b^6*k^8+8448*a^8*b^8*k^8-90112*a^16*k^6+286720*a^14*b^2*k^6-4096*a^14*c^2*k^6-363520*a^12*b^4*k^6+34816*a^12*b^2*c^2*k^6+227840*a^10*b^6*k^6-76288*a^10*b^4*c^2*k^6-70144*a^8*b^8*k^6+78080*a^8*b^6*c^2*k^6+8192*a^6*b^10*k^6-39424*a^6*b^8*c^2*k^6+7936*a^4*b^10*c^2*k^6+124416*a^16*k^4-421376*a^14*b^2*k^4+10752*a^14*c^2*k^4+593792*a^12*b^4*k^4-98816*a^12*b^2*c^2*k^4+896*a^12*c^4*k^4-443648*a^10*b^6*k^4+222848*a^10*b^4*c^2*k^4-6272*a^10*b^2*c^4*k^4+185408*a^8*b^8*k^4-239488*a^8*b^6*c^2*k^4+19360*a^8*b^4*c^4*k^4-40832*a^6*b^10*k^4+136960*a^6*b^8*c^2*k^4-20736*a^6*b^6*c^4*k^4+3776*a^4*b^12*k^4-39808*a^4*b^10*c^2*k^4+12288*a^4*b^8*c^4*k^4+4480*a^2*b^12*c^2*k^4-5120*a^2*b^10*c^4*k^4+1120*b^12*c^4*k^4-76800*a^16*k^2+277504*a^14*b^2*k^2-9216*a^14*c^2*k^2-432576*a^12*b^4*k^2+94336*a^12*b^2*c^2*k^2-1472*a^12*c^4*k^2+375648*a^10*b^6*k^2-219616*a^10*b^4*c^2*k^2+9760*a^10*b^2*c^4*k^2-160*a^10*c^6*k^2-196416*a^8*b^8*k^2+243952*a^8*b^6*c^2*k^2-36384*a^8*b^4*c^4*k^2+624*a^8*b^2*c^6*k^2+61568*a^6*b^10*k^2-149056*a^6*b^8*c^2*k^2+43520*a^6*b^6*c^4*k^2+448*a^6*b^4*c^6*k^2-10752*a^4*b^12*k^2+50912*a^4*b^10*c^2*k^2-25536*a^4*b^8*c^4*k^2+992*a^4*b^6*c^6*k^2+800*a^2*b^14*k^2-8800*a^2*b^12*c^2*k^2+8160*a^2*b^10*c^4*k^2-1440*a^2*b^8*c^6*k^2+560*b^14*c^2*k^2-1120*b^12*c^4*k^2+560*b^10*c^6*k^2+17920*a^16-69120*a^14*b^2+2560*a^14*c^2+118336*a^12*b^4-30336*a^12*b^2*c^2+576*a^12*c^4-116832*a^10*b^6+73056*a^10*b^4*c^2-3488*a^10*b^2*c^4+160*a^10*c^6+72774*a^8*b^8-82584*a^8*b^6*c^2+17060*a^8*b^4*c^4-664*a^8*b^2*c^6+70*a^8*c^8-29208*a^6*b^10+51360*a^6*b^8*c^2-22736*a^6*b^6*c^4-480*a^6*b^4*c^6+40*a^6*b^2*c^8+7396*a^4*b^12-18320*a^4*b^10*c^2+13464*a^4*b^8*c^4-1040*a^4*b^6*c^6+36*a^4*b^4*c^8-1080*a^2*b^14+3520*a^2*b^12*c^2-3760*a^2*b^10*c^4+1280*a^2*b^8*c^6+40*a^2*b^6*c^8+70*b^16-280*b^14*c^2+420*b^12*c^4-280*b^10*c^6+70*b^8*c^8)*z^8+(16384*a^14*k^8-32768*a^12*b^2*k^8+22528*a^10*b^4*k^8-5120*a^8*b^6*k^8-63488*a^14*k^6+141312*a^12*b^2*k^6-1024*a^12*c^2*k^6-120320*a^10*b^4*k^6+19456*a^10*b^2*c^2*k^6+45056*a^8*b^6*k^6-32000*a^8*b^4*c^2*k^6-6400*a^6*b^8*k^6+20736*a^6*b^6*c^2*k^6-4864*a^4*b^8*c^2*k^6+92160*a^14*k^4-226304*a^12*b^2*k^4+3072*a^12*c^2*k^4+228480*a^10*b^4*k^4-57344*a^10*b^2*c^2*k^4-128*a^10*c^4*k^4-115520*a^8*b^6*k^4+97920*a^8*b^4*c^2*k^4+448*a^8*b^2*c^4*k^4+29568*a^6*b^8*k^4-71232*a^6*b^6*c^2*k^4+4800*a^6*b^4*c^4*k^4-3008*a^4*b^10*k^4+24064*a^4*b^8*c^2*k^4-6336*a^4*b^6*c^4*k^4-3136*a^2*b^10*c^2*k^4+3392*a^2*b^8*c^4*k^4-896*b^10*c^4*k^4-59392*a^14*k^2+159744*a^12*b^2*k^2-3072*a^12*c^2*k^2-185984*a^10*b^4*k^2+56320*a^10*b^2*c^2*k^2+128*a^10*c^4*k^2+116864*a^8*b^6*k^2-99264*a^8*b^4*c^2*k^2-256*a^8*b^2*c^4*k^2+64*a^8*c^6*k^2-42000*a^6*b^8*k^2+77776*a^6*b^6*c^2*k^2-10864*a^6*b^4*c^4*k^2-336*a^6*b^2*c^6*k^2+8096*a^4*b^10*k^2-31008*a^4*b^8*c^2*k^2+12896*a^4*b^6*c^4*k^2-224*a^4*b^4*c^6*k^2-656*a^2*b^12*k^2+6096*a^2*b^10*c^2*k^2-5616*a^2*b^8*c^4*k^2+688*a^2*b^6*c^6*k^2-448*b^12*c^2*k^2+896*b^10*c^4*k^2-448*b^8*c^6*k^2+14336*a^14-41984*a^12*b^2+1024*a^12*c^2+55296*a^10*b^4-18432*a^10*b^2*c^2-41280*a^8*b^6+33344*a^8*b^4*c^2-192*a^8*b^2*c^4-64*a^8*c^6+18888*a^6*b^8-27296*a^6*b^6*c^2+6064*a^6*b^4*c^4+352*a^6*b^2*c^6-56*a^6*c^8-5256*a^4*b^10+11616*a^4*b^8*c^2-6512*a^4*b^6*c^4+224*a^4*b^4*c^6-72*a^4*b^2*c^8+824*a^2*b^12-2528*a^2*b^10*c^2+2512*a^2*b^8*c^4-736*a^2*b^6*c^6-72*a^2*b^4*c^8-56*b^14+224*b^12*c^2-336*b^10*c^4+224*b^8*c^6-56*b^6*c^8)*z^10+(4096*a^12*k^8-4096*a^10*b^2*k^8+1024*a^8*b^4*k^8-20480*a^12*k^6+28672*a^10*b^2*k^6+2048*a^10*c^2*k^6-14848*a^8*b^4*k^6+3072*a^8*b^2*c^2*k^6+2816*a^6*b^6*k^6-2816*a^6*b^4*c^2*k^6+640*a^4*b^6*c^2*k^6+35840*a^12*k^4-60416*a^10*b^2*k^4-5120*a^10*c^2*k^4+41472*a^8*b^4*k^4-11264*a^8*b^2*c^2*k^4-512*a^8*c^4*k^4-12928*a^6*b^6*k^4+13056*a^6*b^4*c^2*k^4+2432*a^6*b^2*c^4*k^4+1504*a^4*b^8*k^4-5184*a^4*b^6*c^2*k^4+1568*a^4*b^4*c^4*k^4+896*a^2*b^8*c^2*k^4-1536*a^2*b^6*c^4*k^4+448*b^8*c^4*k^4-26624*a^12*k^2+51200*a^10*b^2*k^2+4096*a^10*c^2*k^2-42624*a^8*b^4*k^2+12544*a^8*b^2*c^2*k^2+896*a^8*c^4*k^2+18112*a^6*b^6*k^2-16960*a^6*b^4*c^2*k^2-3776*a^6*b^2*c^4*k^2+64*a^6*c^6*k^2-3936*a^4*b^8*k^2+8512*a^4*b^6*c^2*k^2-2144*a^4*b^4*c^4*k^2+128*a^4*b^2*c^6*k^2+352*a^2*b^10*k^2-2080*a^2*b^8*c^2*k^2+2336*a^2*b^6*c^4*k^2-96*a^2*b^4*c^6*k^2+224*b^10*c^2*k^2-448*b^8*c^4*k^2+224*b^6*c^6*k^2+7168*a^12-15360*a^10*b^2-1024*a^10*c^2+14976*a^8*b^4-4352*a^8*b^2*c^2-384*a^8*c^4-8000*a^6*b^6+6720*a^6*b^4*c^2+1344*a^6*b^2*c^4-64*a^6*c^6+2460*a^4*b^8-3952*a^4*b^6*c^2+552*a^4*b^4*c^4-112*a^4*b^2*c^6+28*a^4*c^8-408*a^2*b^10+1056*a^2*b^8*c^2-848*a^2*b^6*c^4+160*a^2*b^4*c^6+40*a^2*b^2*c^8+28*b^12-112*b^10*c^2+168*b^8*c^4-112*b^6*c^6+28*b^4*c^8)*z^12+(-2048*a^10*k^6+2048*a^8*b^2*k^6+1024*a^8*c^2*k^6-512*a^6*b^4*k^6-1024*a^6*b^2*c^2*k^6+256*a^4*b^4*c^2*k^6+6144*a^10*k^4-7168*a^8*b^2*k^4-3072*a^8*c^2*k^4+2944*a^6*b^4*k^4+2048*a^6*b^2*c^2*k^4+128*a^6*c^4*k^4-448*a^4*b^6*k^4-640*a^4*b^4*c^2*k^4-192*a^4*b^2*c^4*k^4+64*a^2*b^6*c^2*k^4+448*a^2*b^4*c^4*k^4-128*b^6*c^4*k^4-6144*a^10*k^2+8192*a^8*b^2*k^2+3072*a^8*c^2*k^2-4480*a^6*b^4*k^2-1024*a^6*b^2*c^2*k^2-128*a^6*c^4*k^2+1152*a^4*b^6*k^2-64*a^4*b^4*c^2*k^2-64*a^4*c^6*k^2-112*a^2*b^8*k^2+176*a^2*b^6*c^2*k^2-528*a^2*b^4*c^4*k^2-48*a^2*b^2*c^6*k^2-64*b^8*c^2*k^2+128*b^6*c^4*k^2-64*b^4*c^6*k^2+2048*a^10-3072*a^8*b^2-1024*a^8*c^2+2048*a^6*b^4-704*a^4*b^6+448*a^4*b^4*c^2+192*a^4*b^2*c^4+64*a^4*c^6+120*a^2*b^8-224*a^2*b^6*c^2+80*a^2*b^4*c^4+32*a^2*b^2*c^6-8*a^2*c^8-8*b^10+32*b^8*c^2-48*b^6*c^4+32*b^4*c^6-8*b^2*c^8)*z^14+(256*a^8*k^4-256*a^6*b^2*k^4-256*a^6*c^2*k^4+64*a^4*b^4*k^4+256*a^4*b^2*c^2*k^4+64*a^4*c^4*k^4-64*a^2*b^4*c^2*k^4-64*a^2*b^2*c^4*k^4+16*b^4*c^4*k^4-512*a^8*k^2+512*a^6*b^2*k^2+512*a^6*c^2*k^2-160*a^4*b^4*k^2-320*a^4*b^2*c^2*k^2-160*a^4*c^4*k^2+16*a^2*b^6*k^2+48*a^2*b^4*c^2*k^2+48*a^2*b^2*c^4*k^2+16*a^2*c^6*k^2+8*b^6*c^2*k^2-16*b^4*c^4*k^2+8*b^2*c^6*k^2+256*a^8-256*a^6*b^2-256*a^6*c^2+96*a^4*b^4+64*a^4*b^2*c^2+96*a^4*c^4-16*a^2*b^6+16*a^2*b^4*c^2+16*a^2*b^2*c^4-16*a^2*c^6+b^8-4*b^6*c^2+6*b^4*c^4-4*b^2*c^6+c^8)*z^16, (4*b^2*c^2*k^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)*(a-b)^4*(a+b)^4+4*(a-b)^2*(a+b)^2*(2*a^2*b^4*k^2-2*a^2*b^2*c^2*k^2-4*b^4*c^2*k^2-a^2*b^4+2*a^2*b^2*c^2-a^2*c^4-b^6+2*b^4*c^2-b^2*c^4)*z^2+(16*a^4*b^4*k^4-16*a^4*b^4*k^2+8*a^4*b^2*c^2*k^2-16*a^2*b^6*k^2+24*b^6*c^2*k^2+6*a^4*b^4-12*a^4*b^2*c^2+6*a^4*c^4+4*a^2*b^6-8*a^2*b^4*c^2+4*a^2*b^2*c^4+6*b^8-12*b^6*c^2+6*b^4*c^4)*z^4+(8*a^2*b^4*k^2-8*a^2*b^2*c^2*k^2-16*b^4*c^2*k^2-4*a^2*b^4+8*a^2*b^2*c^2-4*a^2*c^4-4*b^6+8*b^4*c^2-4*b^2*c^4)*z^6+(4*b^2*c^2*k^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)*z^8=0

复制代码

1. (a-c)^8*(a+c)^8*(256*a^8*k^4-256*a^6*b^2*k^4-256*a^6*c^2*k^4+64*a^4*b^4*k^4+256*a^4*b^2*c^2*k^4+64*a^4*c^4*k^4-64*a^2*b^4*c^2*k^4-64*a^2*b^2*c^4*k^4+16*b^4*c^4*k^4-512*a^8*k^2+512*a^6*b^2*k^2+512*a^6*c^2*k^2-160*a^4*b^4*k^2-320*a^4*b^2*c^2*k^2-160*a^4*c^4*k^2+16*a^2*b^6*k^2+48*a^2*b^4*c^2*k^2+48*a^2*b^2*c^4*k^2+16*a^2*c^6*k^2+8*b^6*c^2*k^2-16*b^4*c^4*k^2+8*b^2*c^6*k^2+256*a^8-256*a^6*b^2-256*a^6*c^2+96*a^4*b^4+64*a^4*b^2*c^2+96*a^4*c^4-16*a^2*b^6+16*a^2*b^4*c^2+16*a^2*b^2*c^4-16*a^2*c^6+b^8-4*b^6*c^2+6*b^4*c^4-4*b^2*c^6+c^8)-8*(a-c)^6*(a+c)^6*(256*a^10*k^6-128*a^8*b^2*k^6-256*a^8*c^2*k^6+128*a^6*b^2*c^2*k^6+64*a^6*c^4*k^6-32*a^4*b^2*c^4*k^6-768*a^10*k^4+384*a^8*b^2*k^4+896*a^8*c^2*k^4-16*a^6*b^4*k^4-256*a^6*b^2*c^2*k^4-368*a^6*c^4*k^4+24*a^4*b^4*c^2*k^4+80*a^4*b^2*c^4*k^4+56*a^4*c^6*k^4-56*a^2*b^4*c^4*k^4-8*a^2*b^2*c^6*k^4+16*b^4*c^6*k^4+768*a^10*k^2-384*a^8*b^2*k^2-1024*a^8*c^2*k^2+16*a^6*b^4*k^2+128*a^6*b^2*c^2*k^2+560*a^6*c^4*k^2+8*a^4*b^6*k^2+8*a^4*b^2*c^4*k^2-144*a^4*c^6*k^2+6*a^2*b^6*c^2*k^2+66*a^2*b^4*c^4*k^2-22*a^2*b^2*c^6*k^2+14*a^2*c^8*k^2+8*b^6*c^4*k^2-16*b^4*c^6*k^2+8*b^2*c^8*k^2-256*a^10+128*a^8*b^2+384*a^8*c^2-256*a^6*c^4-8*a^4*b^6-24*a^4*b^4*c^2-56*a^4*b^2*c^4+88*a^4*c^6+a^2*b^8-4*a^2*b^6*c^2-10*a^2*b^4*c^4+28*a^2*b^2*c^6-15*a^2*c^8+b^8*c^2-4*b^6*c^4+6*b^4*c^6-4*b^2*c^8+c^10)*y^2+4*(a-c)^4*(a+c)^4*(1024*a^12*k^8-1024*a^10*c^2*k^8+256*a^8*c^4*k^8-5120*a^12*k^6+512*a^10*b^2*k^6+7168*a^10*c^2*k^6+768*a^8*b^2*c^2*k^6-3712*a^8*c^4*k^6-704*a^6*b^2*c^4*k^6+704*a^6*c^6*k^6+160*a^4*b^2*c^6*k^6+8960*a^12*k^4-1280*a^10*b^2*k^4-15104*a^10*c^2*k^4-128*a^8*b^4*k^4-2816*a^8*b^2*c^2*k^4+10368*a^8*c^4*k^4+608*a^6*b^4*c^2*k^4+3264*a^6*b^2*c^4*k^4-3232*a^6*c^6*k^4+392*a^4*b^4*c^4*k^4-1296*a^4*b^2*c^6*k^4+376*a^4*c^8*k^4-384*a^2*b^4*c^6*k^4+224*a^2*b^2*c^8*k^4+112*b^4*c^8*k^4-6656*a^12*k^2+1024*a^10*b^2*k^2+12800*a^10*c^2*k^2+224*a^8*b^4*k^2+3136*a^8*b^2*c^2*k^2-10656*a^8*c^4*k^2+16*a^6*b^6*k^2-944*a^6*b^4*c^2*k^2-4240*a^6*b^2*c^4*k^2+4528*a^6*c^6*k^2+32*a^4*b^6*c^2*k^2-536*a^4*b^4*c^4*k^2+2128*a^4*b^2*c^6*k^2-984*a^4*c^8*k^2-24*a^2*b^6*c^4*k^2+584*a^2*b^4*c^6*k^2-520*a^2*b^2*c^8*k^2+88*a^2*c^10*k^2+56*b^6*c^6*k^2-112*b^4*c^8*k^2+56*b^2*c^10*k^2+1792*a^12-256*a^10*b^2-3840*a^10*c^2-96*a^8*b^4-1088*a^8*b^2*c^2+3744*a^8*c^4-16*a^6*b^6+336*a^6*b^4*c^2+1680*a^6*b^2*c^4-2000*a^6*c^6+7*a^4*b^8-28*a^4*b^6*c^2+138*a^4*b^4*c^4-988*a^4*b^2*c^6+615*a^4*c^8+10*a^2*b^8*c^2+40*a^2*b^6*c^4-212*a^2*b^4*c^6+264*a^2*b^2*c^8-102*a^2*c^10+7*b^8*c^4-28*b^6*c^6+42*b^4*c^8-28*b^2*c^10+7*c^12)*y^4+8*(a-c)^2*(a+c)^2*(2048*a^14*k^8-4096*a^12*c^2*k^8+2816*a^10*c^4*k^8-640*a^8*c^6*k^8-7936*a^14*k^6-128*a^12*b^2*k^6+17664*a^12*c^2*k^6+2432*a^10*b^2*c^2*k^6-15040*a^10*c^4*k^6-4000*a^8*b^2*c^4*k^6+5632*a^8*c^6*k^6+2592*a^6*b^2*c^6*k^6-800*a^6*c^8*k^6-608*a^4*b^2*c^8*k^6+11520*a^14*k^4+384*a^12*b^2*k^4-28288*a^12*c^2*k^4-16*a^10*b^4*k^4-7168*a^10*b^2*c^2*k^4+28560*a^10*c^4*k^4+56*a^8*b^4*c^2*k^4+12240*a^8*b^2*c^4*k^4-14440*a^8*c^6*k^4+600*a^6*b^4*c^4*k^4-8904*a^6*b^2*c^6*k^4+3696*a^6*c^8*k^4-792*a^4*b^4*c^6*k^4+3008*a^4*b^2*c^8*k^4-376*a^4*c^10*k^4+424*a^2*b^4*c^8*k^4-392*a^2*b^2*c^10*k^4-112*b^4*c^10*k^4-7424*a^14*k^2-384*a^12*b^2*k^2+19968*a^12*c^2*k^2+16*a^10*b^4*k^2+7040*a^10*b^2*c^2*k^2-23248*a^10*c^4*k^2+8*a^8*b^6*k^2-32*a^8*b^4*c^2*k^2-12408*a^8*b^2*c^4*k^2+14608*a^8*c^6*k^2-42*a^6*b^6*c^2*k^2-1358*a^6*b^4*c^4*k^2+9722*a^6*b^2*c^6*k^2-5250*a^6*c^8*k^2-28*a^4*b^6*c^4*k^2+1612*a^4*b^4*c^6*k^2-3876*a^4*b^2*c^8*k^2+1012*a^4*c^10*k^2+86*a^2*b^6*c^6*k^2-702*a^2*b^4*c^8*k^2+762*a^2*b^2*c^10*k^2-82*a^2*c^12*k^2-56*b^6*c^8*k^2+112*b^4*c^10*k^2-56*b^2*c^12*k^2+1792*a^14+128*a^12*b^2-5248*a^12*c^2-2304*a^10*b^2*c^2+6912*a^10*c^4-8*a^8*b^6-24*a^8*b^4*c^2+4168*a^8*b^2*c^4-5160*a^8*c^6-7*a^6*b^8+44*a^6*b^6*c^2+758*a^6*b^4*c^4-3412*a^6*b^2*c^6+2361*a^6*c^8-9*a^4*b^8*c^2+28*a^4*b^6*c^4-814*a^4*b^4*c^6+1452*a^4*b^2*c^8-657*a^4*c^10-9*a^2*b^8*c^4-92*a^2*b^6*c^6+314*a^2*b^4*c^8-316*a^2*b^2*c^10+103*a^2*c^12-7*b^8*c^6+28*b^6*c^8-42*b^4*c^10+28*b^2*c^12-7*c^14)*y^6+(24576*a^16*k^8-73728*a^14*c^2*k^8+83968*a^12*c^4*k^8-43008*a^10*c^6*k^8+8448*a^8*c^8*k^8-90112*a^16*k^6-4096*a^14*b^2*k^6+286720*a^14*c^2*k^6+34816*a^12*b^2*c^2*k^6-363520*a^12*c^4*k^6-76288*a^10*b^2*c^4*k^6+227840*a^10*c^6*k^6+78080*a^8*b^2*c^6*k^6-70144*a^8*c^8*k^6-39424*a^6*b^2*c^8*k^6+8192*a^6*c^10*k^6+7936*a^4*b^2*c^10*k^6+124416*a^16*k^4+10752*a^14*b^2*k^4-421376*a^14*c^2*k^4+896*a^12*b^4*k^4-98816*a^12*b^2*c^2*k^4+593792*a^12*c^4*k^4-6272*a^10*b^4*c^2*k^4+222848*a^10*b^2*c^4*k^4-443648*a^10*c^6*k^4+19360*a^8*b^4*c^4*k^4-239488*a^8*b^2*c^6*k^4+185408*a^8*c^8*k^4-20736*a^6*b^4*c^6*k^4+136960*a^6*b^2*c^8*k^4-40832*a^6*c^10*k^4+12288*a^4*b^4*c^8*k^4-39808*a^4*b^2*c^10*k^4+3776*a^4*c^12*k^4-5120*a^2*b^4*c^10*k^4+4480*a^2*b^2*c^12*k^4+1120*b^4*c^12*k^4-76800*a^16*k^2-9216*a^14*b^2*k^2+277504*a^14*c^2*k^2-1472*a^12*b^4*k^2+94336*a^12*b^2*c^2*k^2-432576*a^12*c^4*k^2-160*a^10*b^6*k^2+9760*a^10*b^4*c^2*k^2-219616*a^10*b^2*c^4*k^2+375648*a^10*c^6*k^2+624*a^8*b^6*c^2*k^2-36384*a^8*b^4*c^4*k^2+243952*a^8*b^2*c^6*k^2-196416*a^8*c^8*k^2+448*a^6*b^6*c^4*k^2+43520*a^6*b^4*c^6*k^2-149056*a^6*b^2*c^8*k^2+61568*a^6*c^10*k^2+992*a^4*b^6*c^6*k^2-25536*a^4*b^4*c^8*k^2+50912*a^4*b^2*c^10*k^2-10752*a^4*c^12*k^2-1440*a^2*b^6*c^8*k^2+8160*a^2*b^4*c^10*k^2-8800*a^2*b^2*c^12*k^2+800*a^2*c^14*k^2+560*b^6*c^10*k^2-1120*b^4*c^12*k^2+560*b^2*c^14*k^2+17920*a^16+2560*a^14*b^2-69120*a^14*c^2+576*a^12*b^4-30336*a^12*b^2*c^2+118336*a^12*c^4+160*a^10*b^6-3488*a^10*b^4*c^2+73056*a^10*b^2*c^4-116832*a^10*c^6+70*a^8*b^8-664*a^8*b^6*c^2+17060*a^8*b^4*c^4-82584*a^8*b^2*c^6+72774*a^8*c^8+40*a^6*b^8*c^2-480*a^6*b^6*c^4-22736*a^6*b^4*c^6+51360*a^6*b^2*c^8-29208*a^6*c^10+36*a^4*b^8*c^4-1040*a^4*b^6*c^6+13464*a^4*b^4*c^8-18320*a^4*b^2*c^10+7396*a^4*c^12+40*a^2*b^8*c^6+1280*a^2*b^6*c^8-3760*a^2*b^4*c^10+3520*a^2*b^2*c^12-1080*a^2*c^14+70*b^8*c^8-280*b^6*c^10+420*b^4*c^12-280*b^2*c^14+70*c^16)*y^8+(16384*a^14*k^8-32768*a^12*c^2*k^8+22528*a^10*c^4*k^8-5120*a^8*c^6*k^8-63488*a^14*k^6-1024*a^12*b^2*k^6+141312*a^12*c^2*k^6+19456*a^10*b^2*c^2*k^6-120320*a^10*c^4*k^6-32000*a^8*b^2*c^4*k^6+45056*a^8*c^6*k^6+20736*a^6*b^2*c^6*k^6-6400*a^6*c^8*k^6-4864*a^4*b^2*c^8*k^6+92160*a^14*k^4+3072*a^12*b^2*k^4-226304*a^12*c^2*k^4-128*a^10*b^4*k^4-57344*a^10*b^2*c^2*k^4+228480*a^10*c^4*k^4+448*a^8*b^4*c^2*k^4+97920*a^8*b^2*c^4*k^4-115520*a^8*c^6*k^4+4800*a^6*b^4*c^4*k^4-71232*a^6*b^2*c^6*k^4+29568*a^6*c^8*k^4-6336*a^4*b^4*c^6*k^4+24064*a^4*b^2*c^8*k^4-3008*a^4*c^10*k^4+3392*a^2*b^4*c^8*k^4-3136*a^2*b^2*c^10*k^4-896*b^4*c^10*k^4-59392*a^14*k^2-3072*a^12*b^2*k^2+159744*a^12*c^2*k^2+128*a^10*b^4*k^2+56320*a^10*b^2*c^2*k^2-185984*a^10*c^4*k^2+64*a^8*b^6*k^2-256*a^8*b^4*c^2*k^2-99264*a^8*b^2*c^4*k^2+116864*a^8*c^6*k^2-336*a^6*b^6*c^2*k^2-10864*a^6*b^4*c^4*k^2+77776*a^6*b^2*c^6*k^2-42000*a^6*c^8*k^2-224*a^4*b^6*c^4*k^2+12896*a^4*b^4*c^6*k^2-31008*a^4*b^2*c^8*k^2+8096*a^4*c^10*k^2+688*a^2*b^6*c^6*k^2-5616*a^2*b^4*c^8*k^2+6096*a^2*b^2*c^10*k^2-656*a^2*c^12*k^2-448*b^6*c^8*k^2+896*b^4*c^10*k^2-448*b^2*c^12*k^2+14336*a^14+1024*a^12*b^2-41984*a^12*c^2-18432*a^10*b^2*c^2+55296*a^10*c^4-64*a^8*b^6-192*a^8*b^4*c^2+33344*a^8*b^2*c^4-41280*a^8*c^6-56*a^6*b^8+352*a^6*b^6*c^2+6064*a^6*b^4*c^4-27296*a^6*b^2*c^6+18888*a^6*c^8-72*a^4*b^8*c^2+224*a^4*b^6*c^4-6512*a^4*b^4*c^6+11616*a^4*b^2*c^8-5256*a^4*c^10-72*a^2*b^8*c^4-736*a^2*b^6*c^6+2512*a^2*b^4*c^8-2528*a^2*b^2*c^10+824*a^2*c^12-56*b^8*c^6+224*b^6*c^8-336*b^4*c^10+224*b^2*c^12-56*c^14)*y^10+(4096*a^12*k^8-4096*a^10*c^2*k^8+1024*a^8*c^4*k^8-20480*a^12*k^6+2048*a^10*b^2*k^6+28672*a^10*c^2*k^6+3072*a^8*b^2*c^2*k^6-14848*a^8*c^4*k^6-2816*a^6*b^2*c^4*k^6+2816*a^6*c^6*k^6+640*a^4*b^2*c^6*k^6+35840*a^12*k^4-5120*a^10*b^2*k^4-60416*a^10*c^2*k^4-512*a^8*b^4*k^4-11264*a^8*b^2*c^2*k^4+41472*a^8*c^4*k^4+2432*a^6*b^4*c^2*k^4+13056*a^6*b^2*c^4*k^4-12928*a^6*c^6*k^4+1568*a^4*b^4*c^4*k^4-5184*a^4*b^2*c^6*k^4+1504*a^4*c^8*k^4-1536*a^2*b^4*c^6*k^4+896*a^2*b^2*c^8*k^4+448*b^4*c^8*k^4-26624*a^12*k^2+4096*a^10*b^2*k^2+51200*a^10*c^2*k^2+896*a^8*b^4*k^2+12544*a^8*b^2*c^2*k^2-42624*a^8*c^4*k^2+64*a^6*b^6*k^2-3776*a^6*b^4*c^2*k^2-16960*a^6*b^2*c^4*k^2+18112*a^6*c^6*k^2+128*a^4*b^6*c^2*k^2-2144*a^4*b^4*c^4*k^2+8512*a^4*b^2*c^6*k^2-3936*a^4*c^8*k^2-96*a^2*b^6*c^4*k^2+2336*a^2*b^4*c^6*k^2-2080*a^2*b^2*c^8*k^2+352*a^2*c^10*k^2+224*b^6*c^6*k^2-448*b^4*c^8*k^2+224*b^2*c^10*k^2+7168*a^12-1024*a^10*b^2-15360*a^10*c^2-384*a^8*b^4-4352*a^8*b^2*c^2+14976*a^8*c^4-64*a^6*b^6+1344*a^6*b^4*c^2+6720*a^6*b^2*c^4-8000*a^6*c^6+28*a^4*b^8-112*a^4*b^6*c^2+552*a^4*b^4*c^4-3952*a^4*b^2*c^6+2460*a^4*c^8+40*a^2*b^8*c^2+160*a^2*b^6*c^4-848*a^2*b^4*c^6+1056*a^2*b^2*c^8-408*a^2*c^10+28*b^8*c^4-112*b^6*c^6+168*b^4*c^8-112*b^2*c^10+28*c^12)*y^12+(-2048*a^10*k^6+1024*a^8*b^2*k^6+2048*a^8*c^2*k^6-1024*a^6*b^2*c^2*k^6-512*a^6*c^4*k^6+256*a^4*b^2*c^4*k^6+6144*a^10*k^4-3072*a^8*b^2*k^4-7168*a^8*c^2*k^4+128*a^6*b^4*k^4+2048*a^6*b^2*c^2*k^4+2944*a^6*c^4*k^4-192*a^4*b^4*c^2*k^4-640*a^4*b^2*c^4*k^4-448*a^4*c^6*k^4+448*a^2*b^4*c^4*k^4+64*a^2*b^2*c^6*k^4-128*b^4*c^6*k^4-6144*a^10*k^2+3072*a^8*b^2*k^2+8192*a^8*c^2*k^2-128*a^6*b^4*k^2-1024*a^6*b^2*c^2*k^2-4480*a^6*c^4*k^2-64*a^4*b^6*k^2-64*a^4*b^2*c^4*k^2+1152*a^4*c^6*k^2-48*a^2*b^6*c^2*k^2-528*a^2*b^4*c^4*k^2+176*a^2*b^2*c^6*k^2-112*a^2*c^8*k^2-64*b^6*c^4*k^2+128*b^4*c^6*k^2-64*b^2*c^8*k^2+2048*a^10-1024*a^8*b^2-3072*a^8*c^2+2048*a^6*c^4+64*a^4*b^6+192*a^4*b^4*c^2+448*a^4*b^2*c^4-704*a^4*c^6-8*a^2*b^8+32*a^2*b^6*c^2+80*a^2*b^4*c^4-224*a^2*b^2*c^6+120*a^2*c^8-8*b^8*c^2+32*b^6*c^4-48*b^4*c^6+32*b^2*c^8-8*c^10)*y^14+(256*a^8*k^4-256*a^6*b^2*k^4-256*a^6*c^2*k^4+64*a^4*b^4*k^4+256*a^4*b^2*c^2*k^4+64*a^4*c^4*k^4-64*a^2*b^4*c^2*k^4-64*a^2*b^2*c^4*k^4+16*b^4*c^4*k^4-512*a^8*k^2+512*a^6*b^2*k^2+512*a^6*c^2*k^2-160*a^4*b^4*k^2-320*a^4*b^2*c^2*k^2-160*a^4*c^4*k^2+16*a^2*b^6*k^2+48*a^2*b^4*c^2*k^2+48*a^2*b^2*c^4*k^2+16*a^2*c^6*k^2+8*b^6*c^2*k^2-16*b^4*c^4*k^2+8*b^2*c^6*k^2+256*a^8-256*a^6*b^2-256*a^6*c^2+96*a^4*b^4+64*a^4*b^2*c^2+96*a^4*c^4-16*a^2*b^6+16*a^2*b^4*c^2+16*a^2*b^2*c^4-16*a^2*c^6+b^8-4*b^6*c^2+6*b^4*c^4-4*b^2*c^6+c^8)*y^16, (4*b^2*c^2*k^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)*(a-c)^4*(a+c)^4-4*(a-c)^2*(a+c)^2*(2*a^2*b^2*c^2*k^2-2*a^2*c^4*k^2+4*b^2*c^4*k^2+a^2*b^4-2*a^2*b^2*c^2+a^2*c^4+b^4*c^2-2*b^2*c^4+c^6)*y^2+(16*a^4*c^4*k^4+8*a^4*b^2*c^2*k^2-16*a^4*c^4*k^2-16*a^2*c^6*k^2+24*b^2*c^6*k^2+6*a^4*b^4-12*a^4*b^2*c^2+6*a^4*c^4+4*a^2*b^4*c^2-8*a^2*b^2*c^4+4*a^2*c^6+6*b^4*c^4-12*b^2*c^6+6*c^8)*y^4+(-8*a^2*b^2*c^2*k^2+8*a^2*c^4*k^2-16*b^2*c^4*k^2-4*a^2*b^4+8*a^2*b^2*c^2-4*a^2*c^4-4*b^4*c^2+8*b^2*c^4-4*c^6)*y^6+(4*b^2*c^2*k^2+b^4-2*b^2*c^2+c^4)*y^8=0

复制代码

数学星空

当\(\angle A=90^\circ\)时

\((a-c)(a+c)(a-b)(a+b)-4bcs+4s^2=0\)

\((b^2+c^2)(a-b)^2(a+b)^2+(2a^2b^2-2a^2c^2-2b^4-2b^2c^2)z^2+(b^2+c^2)z^4=0\)

\((b^2+c^2)(a-c)^2(a+c)^2+(-2a^2b^2+2a^2c^2-2b^2c^2-2c^4)y^2+(b^2+c^2)y^4=0\)

当\(\angle A=60^\circ\)时,\(P\)点位于角A外时

\(3(a-c)(a+c)(a-b)(a+b)+4\sqrt{3}(a^2-2bc)s+16s^2=0\)

\((a-b)^4(a+b)^4(4a^4-2a^2b^2-8a^2bc-2a^2c^2+b^4+2b^3c+3b^2c^2+2bc^3+c^4)+2(a-b)^2(a+b)^2(a^2-b^2-bc-c^2)(2a^4-3a^2b^2-6a^2bc+2a^2c^2+2b^4+2b^3c+2b^2c^2)z^2+(-8a^6b^2-16a^6bc+4a^6c^2+23a^4b^4+32a^4b^3c+46a^4b^2c^2-20a^4bc^3+6a^4c^4-20a^2b^6-36a^2b^5c-44a^2b^4c^2-24a^2b^3c^3+4a^2b^2c^4+6b^8+12b^7c+18b^6c^2+12b^5c^3+6b^4c^4)z^4+(2(a^2-b^2-bc-c^2))(2a^4-3a^2b^2-6a^2bc+2a^2c^2+2b^4+2b^3c+2b^2c^2)z^6+(4a^4-2a^2b^2-8a^2bc-2a^2c^2+b^4+2b^3c+3b^2c^2+2bc^3+c^4)z^8=0\)

\((a-c)^4(a+c)^4(4a^4-2a^2b^2-8a^2bc-2a^2c^2+b^4+2b^3c+3b^2c^2+2bc^3+c^4)+2(a-c)^2(a+c)^2(a^2-b^2-bc-c^2)(2a^4+2a^2b^2-6a^2bc-3a^2c^2+2b^2c^2+2bc^3+2c^4)y^2+(4a^6b^2-16a^6bc-8a^6c^2+6a^4b^4-20a^4b^3c+46a^4b^2c^2+32a^4bc^3+23a^4c^4+4a^2b^4c^2-24a^2b^3c^3-44a^2b^2c^4-36a^2bc^5-20a^2c^6+6b^4c^4+12b^3c^5+18b^2c^6+12bc^7+6c^8)y^4+(2(a^2-b^2-bc-c^2))(2a^4+2a^2b^2-6a^2bc-3a^2c^2+2b^2c^2+2bc^3+2c^4)y^6+(4a^4-2a^2b^2-8a^2bc-2a^2c^2+b^4+2b^3c+3b^2c^2+2bc^3+c^4)y^8=0\)

当\(\angle A=60^\circ\)时,\(P\)点位于角A内时

\(3(a-c)(a+c)(a-b)(a+b)-4\sqrt{3}(a^2+2bc)s+16s^2=0\)

\((b^2+bc+c^2)(a-b)^2(a+b)^2+(a^2b^2-2a^2bc-2a^2c^2-2b^4-2b^3c-2b^2c^2)z^2+(b^2+bc+c^2)z^4=0\)

\((b^2+bc+c^2)(a-c)^2(a+c)^2+(-2a^2b^2-2a^2bc+a^2c^2-2b^2c^2-2bc^3-2c^4)y^2+(b^2+bc+c^2)y^4=0\)

数学星空

\( a = 3, b = 4, c = 5, k = 1, s = 18.48528137, y = 6.291346184, z = 5.876415262 \)

\( a = 3, b = 4, c = 5, k = 1, s = 1.514718628, y = 2.543175900, z = 1.191202406 \)

\( a = 3, b = 4, c = 5, k = \frac{\sqrt{3}}{2}, s = 1.807935569, y = 3.840393512, z = 1.087192844 \)

\( a = 3, b = 4, c = 5, k =\frac{\sqrt{3}}{2}, s = 20.17682432, y = 7.211971703, z = 6.460976516 \)

chyanog

1. Function[{a,b,c,A},Function[{α,β},1/2 (a Cos[α]+Sqrt[b^2-a^2 Sin[α]^2]) (a Cos[β]+Sqrt[c^2-a^2 Sin[β]^2]) Sin[α+β]]@@@{{ArcTan[c+b Cos[A],b Sin[A]],ArcTan[b+c Cos[A],c Sin[A]]},{ArcTan[-c-b Cos[A],-b Sin[A]],ArcTan[-b-c Cos[A],-c Sin[A]]}}]@@@{{3,4,5,Pi/3},{3,4,5,Pi/2}}//Simplify
   
2. 
   
3. Function[{a,b,c,A},{1/2 Sin[A] (b c+a^2 Cos[A]+a Sqrt[b^2+c^2+2 b c Cos[A]-a^2 Sin[A]^2]),1/2 Sin[A] (b c+a^2 Cos[A]-a Sqrt[b^2+c^2+2 b c Cos[A]-a^2 Sin[A]^2])}]@@@{{3,4,5,Pi/3},{3,4,5,Pi/2}}
   

复制代码

\begin{pmatrix}
\frac{1}{8} \sqrt{3} \left(49+3 \sqrt{217}\right) & \frac{1}{8} \sqrt{3}\left(49-3 \sqrt{217}\right) \\
10+6 \sqrt{2} & 10-6 \sqrt{2} \\
\end{pmatrix}

chyanog

周长最大值太复杂，当{a, b, c, A} = {3, 4, 5, Pi/3}时，
{α -> ArcTan[Sqrt[Root[10312216477696 - 20835680485638144*#1 + 8977358803492732928*#1^2 - 484641350677468880896*#1^3 + 1035671557510763952384*#1^4 + 7854767545340937998080*#1^5 + 657831377828050654560*#1^6 - 40742050625066114306640*#1^7 - 59654084847959487800871*#1^8 + 11170238508850602616666*#1^9 + 96433256833915807617045*#1^10 + 83144471761759260177368*#1^11 + 11390362917395423448386*#1^12 - 21961681716579734235876*#1^13 - 12631945745155887070718*#1^14 - 1003097456080505948568*#1^15 + 1164986357238469565541*#1^16 + 394189297780598996634*#1^17 + 39453967055927139849*#1^18 & , 5]]],
β -> ArcTan[Sqrt[Root[5861816406250000 - 3594175122070312500*#1 + 459345180361572265625*#1^2 - 2499766572299570312500*#1^3 - 11634145164189719531250*#1^4 + 7802433994834188250000*#1^5 + 113156705511964289349375*#1^6 + 193659611033781073245600*#1^7 - 57852473882988261799584*#1^8 - 624933391692023361051620*#1^9 - 853183889979006584508393*#1^10 - 336302037818803811271796*#1^11 + 308937586979589108703574*#1^12 + 361038488687896717623288*#1^13 + 54765036492617594763937*#1^14 - 74622939546618854521464*#1^15 - 27366938239852303010100*#1^16 + 4309528270166410661136*#1^17 + 2324453938261594837776*#1^18 & , 4]]]}