铺地砖问题

liangbch

无心人贴出个 翻地砖 的帖过子，我来个 铺地砖的帖子吧。不过这两个问题完全不同呀。

我们想要用正多边形的砖来铺地板,且须满足以下条件。
   1.必须是采用正多边形的砖来铺，可以用一种正多边形，也可以采用几种正多边形。
    采用一种正多边形的铺法（排列）方法三种，分别是 三角形，正方形，六边形。重点需要分析一下，采用多种多边形有几种排列方法。
   2.每个顶点（多变形各个顶点的交叉点）上的多边形的排列必须相同。
   3.采用相同的排列方式，地砖可无限扩展。反例，附件5-5-10 采用每个顶点包含 2个5边形和1个10边形，但是接着铺下去就不能满足条件了。

liangbch

满足铺地板的一个必要条件是每个顶点的各个多边形的内角和是$360^@$。下面列出法符合这个条件的一些铺法。

每个顶点3块砖
　　1、6+6+6
　　2、8+8+4(每个顶点包含2个八边形一个四边形,下同）
　　3、10+10+5

每个顶点4块砖
　　4、4+4+4+4
　　5、3+4+4+6

每个顶点5块砖
　　6、3+3+3+3+6

每个顶点6块砖
　　7、3+3+3+3+3+3

大家可验证这几种排法，哪个能满足条件，哪个不能满足条件，是否还有其他排列方法。

gxqcn

是否允许不同顶点汇聚不同数目的边？
是否允许凹多边形、甚至不规则图形？

liangbch

是否允许不同顶点汇聚不同数目的边？

   不允许，如果这样，就不满足 每个顶点（多变形各个顶点的交叉点）上的多边形的排列必须相同。

是否允许凹多边形、甚至不规则图形？

  不允许，必须是正多边形。

gxqcn

再增加两个：
　　8、4+6+12
　　9、3+12+12

无心人

你没画图

gxqcn

正$n$边形的一个内角对圆周角的“贡献”值为：$a_n = \frac{n-2}{2n}$

我们只要解如下不定方程即可：$\sum a_n xx x_n = 1 \quad ( x_n in bar {ZZ^-} )$
其中$x_n$表示正$n$边形的选取数（可为零）。

也许这仅是满足要求的必要条件之一，
谁来举个反例：满足上述不定方程，但却实际上无法安排平铺？

mathe

上面角得关系得到解的数目应该是有限的。
然后再可以通过点,边,面的数目比例关系（好像叫Euler公式什么的）估计可以找出gxqcn所说的反例

gxqcn

那个Euler公式是研究立体几何，估计也可应用到平几中，
只是它好像是研究有限区域的连通图，对平铺这种无限情形如何使用？

liangbch

你没画图

我来补图