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[讨论] 铺地砖问题

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发表于 2008-7-6 15:08:06 | 显示全部楼层 |阅读模式

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无心人贴出个 翻地砖 的帖过子,我来个 铺地砖的帖子吧。不过这两个问题完全不同呀。

我们想要用正多边形的砖来铺地板,且须满足以下条件。
   1.必须是采用正多边形的砖来铺,可以用一种正多边形,也可以采用几种正多边形。
    采用一种正多边形的铺法(排列)方法三种,分别是 三角形,正方形,六边形。重点需要分析一下,采用多种多边形有几种排列方法。
   2.每个顶点(多变形各个顶点的交叉点)上的多边形的排列必须相同。
   3.采用相同的排列方式,地砖可无限扩展。反例,附件5-5-10 采用每个顶点包含 2个5边形和1个10边形,但是接着铺下去就不能满足条件了。

采用正三角形的铺法

采用正三角形的铺法

采用正四边形的铺法

采用正四边形的铺法

采用正六边形的铺法

采用正六边形的铺法

采用正八边形和正方形的铺法

采用正八边形和正方形的铺法

采用正五边形和正十形的铺法(错误的铺法)

采用正五边形和正十形的铺法(错误的铺法)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-7-6 15:19:45 | 显示全部楼层
满足铺地板的一个必要条件是每个顶点的各个多边形的内角和是$360^@$。下面列出法符合这个条件的一些铺法。

每个顶点3块砖
  1、6+6+6
  2、8+8+4(每个顶点包含2个八边形一个四边形,下同)
  3、10+10+5

每个顶点4块砖
  4、4+4+4+4
  5、3+4+4+6

每个顶点5块砖
  6、3+3+3+3+6

每个顶点6块砖
  7、3+3+3+3+3+3

大家可验证这几种排法,哪个能满足条件,哪个不能满足条件,是否还有其他排列方法。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-7-6 15:54:20 | 显示全部楼层
是否允许不同顶点汇聚不同数目的边?
是否允许凹多边形、甚至不规则图形?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2008-7-6 15:58:36 | 显示全部楼层
是否允许不同顶点汇聚不同数目的边?

   不允许,如果这样,就不满足 每个顶点(多变形各个顶点的交叉点)上的多边形的排列必须相同。
是否允许凹多边形、甚至不规则图形?

  不允许,必须是正多边形。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-7-6 16:20:00 | 显示全部楼层
再增加两个:
  8、4+6+12
  9、3+12+12
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-7-6 16:23:17 | 显示全部楼层


你没画图
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-7-6 16:29:54 | 显示全部楼层
正$n$边形的一个内角对圆周角的“贡献”值为:$a_n = \frac{n-2}{2n}$

我们只要解如下不定方程即可:$\sum a_n xx x_n = 1 \quad ( x_n in bar {ZZ^-} )$
其中$x_n$表示正$n$边形的选取数(可为零)。

也许这仅是满足要求的必要条件之一,
谁来举个反例:满足上述不定方程,但却实际上无法安排平铺?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2008-7-6 16:45:04 | 显示全部楼层
上面角得关系得到解的数目应该是有限的。
然后再可以通过点,边,面的数目比例关系(好像叫Euler公式什么的)估计可以找出gxqcn所说的反例
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2008-7-6 17:01:53 | 显示全部楼层
那个Euler公式是研究立体几何,估计也可应用到平几中,
只是它好像是研究有限区域的连通图,对平铺这种无限情形如何使用?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2008-7-6 17:53:09 | 显示全部楼层
你没画图

我来补图
4-6-12.GIF
12-12-3.GIF
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