平方数数字和

mathe

一个平方数的数字之和必然是9的倍数或模3余1. 那么请问,是否对于每个9的倍数或模3余1的正整数,都存在一个完全平方数,数字之和是这个正整数 比如7模3余1,完全平方数16的数字之和为7. 此外,对于每个9的倍数或模3余1的正整数x,如果存在完全平方数,数字之和是x,请找出满足条件的最小的平方数S(x), 如 x=1, S=1 x=4, S=4 x=7, S=16 x=9, S=9 x=10, S=64 x=13, S=49 x=16,S=169 X=18,S=576 ... 那么比如对于x=49,S是多少?x=100呢? 链接：https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... t&ptid=642&pid=7897 给出X是平方数S的构造方法 链接:https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... t&ptid=642&pid=7945 给出对于任意X对应一个S的构造方法

gxqcn

见：A067178 1, 4, 16, 9, 64, 49, 169, 576, 289, 1849, 4489, 3969, 17956, 6889, 27889, 69696, 98596, 97969, 499849, 1887876, 698896, 2778889, 4999696, 9696996, 19998784, 46689889, 66699889, 79869969, 277788889, 478996996, 876988996, 3679999569, 1749999889, ... 看看是不是这个？

无心人

你也太快了阿 呵呵

shshsh_0510

呵呵，出这种序列的题如果要那个网站查不到，是要费点功夫。

mathe

呵呵,就是这个,想不到已经有人算前面的了. 不过没有找到证明对于所有的9的倍数和模3为1的数,都存在平方数和为这个数.

gxqcn

那里仅给出了序列中的前32个，大家可以继续。

mathe

如果大家喜欢素数,还可以计算另外一个序列: 最小的数字和达到某个数的素数 The smallest prime with a possible minimum digit sum: A067523 2, 3, 13, 5, 7, 17, 19, 29, 67, 59, 79, 89, 199, 389, 499, 599, 997, 1889, 1999, 2999, 4999, 6899, 17989, 8999, 29989, 39989, 49999, 59999, 79999, 98999, 199999, 389999, 598999, 599999, 799999, 989999, 2998999, 2999999, 4999999, 6999899, 8989999

mathe

A056991的COMMENT中给出了x=85的结果,看来计算到x=100可能不是问题

gxqcn

找出一条规律： 　　27…7(n个7)88…8(n+1个8)9 是 16…6(n个6)7 的平方。 该规律虽无法保证得到S(15n+19)的下限，但对缩小下限却很有帮助， 因为除了首位2以外，其它都是相对很大的数字。

gxqcn

回头看2#的序列，惊奇的发现，当 x = 15n+19 时， 　　S(15n+19) = 27…7(n个7)88…8(n+1个8)9 竟然无一例外（n=0,1,2,3）！ 现猜想：上述结论对所有的非负整数n均成立。

补注：13# kofeffect 的帖子给出了一个反例：S(79) = 7998976969 < 27777888889