等边多面体

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等边多面体是一种很规则的几何体，具有对称的结构，完美的外形，是正多面体的超集。但研究者寡，在网上搜索到的资料也很少。 从现在起，我们将集中讨论等边多面体的定义，构造方法，性质，以及这些几何某些量的计算。

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帖子的由来： 　　在上初中的时候，对足球的形状很感兴趣。好多人对足球熟视无睹，认为足球是有正六边形组成，包括在今年5月游黄山时碰到的导游，也这么说。其实，足球的表面是由20个正六边形，12个正5边形构成的多面体。以正多边形的的特点类比，各边相同，各角相同，可叫做正多边形。而这个多面体，各个面都是正多边形，各个顶点（多面角）也是完全相同的，故我曾把这个叫正多面体（上了高中才发现，正多面体特指另一类多面体，其定义见楼下）当时我想，类似足球这样的多面体，肯定不止一种，我用画图的方法，依次发现了其他和足球一样，具有类似性质的多面体。随着时间的推移，我对这类多面体的知识积累的知识也越来越多，于是有一个想法，想写一本关于等边多面体的书。但限于自己的知识水平等原因，难以如愿。在 2003-09-25 在csdn上发帖，见 等边多面题的问题？ 专题开发/技术/项目 / 数据结构与算法 ，想讨论一下关于等边多面体的性质，但并未达到预期目标，今天再一次将这个话题搬出来，期望这次对这个问题的讨论更加深入，取得更好进展。

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等边多面体是正多面体的超集。正多面体可以看作等边多面体的子集。对于正多面体，很早就有数学家研究，对它的性质也了解的很深入。在这里，给出一些正多面体的一些性质。本文的资料主要来自 维基百科 正多面体。 预备定义： 1.外接球：如果一个球与顶面体的各个顶点相接，称这个球为多面体的外接球。 2.内接球：如果一个球与多面体的各个面相切，称这个球为多面体的内接球。 3.切棱球：如果一个球与多面体的各个棱相切，称这个球位多面体的切棱球。 正多面体 定义： 每个面都是同边数的正多边形,且在每个顶点都有同数棱的凸多面体。 性质: (1)各面是全等的正多边形; (2)各二面角都相等; (3)所有的棱都相等, (4)所有的多面角全; (5)每个正多面体有且僅有一个內切球﹑切棱球﹑外接球,且它们的球心是同一点。这一点叫做正多面体的中心。

正多面名称	各面正多边形	面数	棱数	顶点数	各顶点棱
正四面体	正3角形	4	6	4	3
正六面体	正4边形	6	12	8	3
正八面体	正3角形	8	12	6	4
正十二面体	正5边形	12	30	20	3
正二十面体	正3角形	20	30	12	5

正多面名称	几何数据
正四面体	表面积：$sqrt{3}a^2~~ 1.732a^2$ 体积：$\frac{1}{12}\sqrt{2}a^3~~0.118a^3$ 二面角：$arccos\frac{1}{3}~~70@32'$ 外接球半径：$\frac{\sqrt{6}}{4}a~~0.162a$ 内接球半径：$\frac{\sqrt{6}}{12}a~~0.204a$ 对偶多面体：正四面体
正六面体	表面积：$6a^2$ 体积：$a^3$ 二面角：度：$90@$ 外接球半径：$\frac{sqrt{3}}{2}a~~0.866a$ 内接球半径：$\frac{a}{2}$ 对偶多面体：正八面体
正八面体	表面积：$2\sqrt{3}a^2~~3.464a^2$ 体积：$\frac{1}{3}\sqrt{2}a^3~~0.471a^3$ 二面角：$arccos(-\frac{1}{3})~~109@28'$ 外接球半径：$\frac{\sqrt{2}}{2}a~~0.707a$ 内接球半径：$\frac{\sqrt{6}}{6}a~~0.408a$ 对偶多面体：立方体
正十二面体	表面积：$3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2~~0.7663a^2$ 体积：$\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})a^3~~20.65a^3$ 二面角：$arcos(-\frac{\sqrt{5}}{5})~~116@34'$ 外接球半径：$\frac{\sqrt{6}}{4}\sqrt{3+\sqrt{5}}a~~1.401a$ 内接球半径：$\frac{a}{4}\sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5}}~~1.114a$ 对偶多面体：正二十面体
正二十面体	表面积：$5\sqrt{3}a^2~~8.660a^2$ 体积：$\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3~~2.182a^3$ 二面角：$arccos(-\frac{\sqrt{5}}{3})~~138@11'$ 外接球半径：$\frac{a}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}~~0.951a$ 内接球半径：$\frac{a}{12}\sqrt{3}(3+\sqrt{5})~~0.756a$ 对偶多面体：正十二面体

各个正多面体图见下,图片来在为 维基百科 多面体

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1.关于楼上的一点补充。对偶多面体。我没有看到标准的定义，我以为将正多面体的各个顶点切掉，得到的多面体仍然正多面体，这个正多面体叫做原多面体的对偶多面体。切法：用刀沿着各个棱的中间点去削。 2.未解决的问题， 2.1 楼上给出一些几何数据，包括表面积，体积，二面角，内接球半径，外界球半径。但没有给出切棱球半径。 2.2 对于一个数学题而言，方法比答案更重要，谁能给出这些数据的计算方法。

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　我现在尚不能找出等边多面体的标准定义。我是这样定义等边多面体的： 1.各个面是正多边形。 2.每个多面角的各个多边形的排列方式也完全相同。 注意，仅仅符合等边 这样的条件的多面体不是等边多面体，仅仅符合各个面都是正多边形的多面体也不是等边多面体。现在举个反例如下。 大家注意到，正20面体有12个正五边形组成，其中一个顶面，一个底面。而 侧面 有2层，每层5个。如果我们将这个多面体的顶面和底面换成 正方形 或者 正6边形，如此，则仍有2层侧面，每层侧面 为4个或者6个正五边形，则这2两个多面体为 10面体 和 14面体。这个多面体符合各个面都是正多边形的条件，也符合各边相等的条件，但这种多面体我们不把他叫做等边多面体。因为，这个多面体不符合上面所述的第二个条件。就那个10面体而言，顶面和底面的每个顶点 包含 一个正方形和2个5边形，但 第一层侧面和 第二层侧面的 相交处的各个顶点 则包含3个五边形。有些顶点是（4，5，5）的排列，而另外的顶点是（5，5，5）的排列。所以这个多面体不能称作是等边多面体。 等边多面体具有这样的性质： 1.所有的面都是正多边形。 2.所有的多面角的内角和都相同。 3.许多 等边多面体 可由 正多面体 削去某些顶点而成（是不是全部，现在尚未检查） 4.许多等边多面体具有外接球（相对外接球，具有内接球的条件更苛刻。现在尚不知道，哪些多面体具有外接球，内接球，切棱球。需要大家讨论后给出答案） 5.所有等边多面体的 面数 根据 多面角的内角和求出。 [ 本帖最后由 liangbch 于 2008-7-21 10:19 编辑 ]

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　最初我构造多面体时，采用和铺地砖那个帖子类似的做法，就是采用一些多边形去拼，拼的时候，始终保证每个顶点（多面角）各个多边形的排列完全相同。 　和铺地砖不同，铺地砖要求相交于一个点的各个角的和是360度，而拼多面体时，则必须要求每个顶点上的各个角（多面角）的内角和小于360度。由于多面体是体，而纸上画的东西是一个面，故 纸上画的图形和多面体具有相同的拓扑结构，其他性质则大不相同。实际上将一个多面体的某些边进行拉伸（同时引起角度的变化）最终可变成一个平面，在平面上绘制多面体的拓扑结构，如果能够保证这个图形的最外边是一个符合条件的多边形，那个这个多面体就可以构造出来。我们以 （6.6.4）（一种记法，表示多面体的每个多面角由 6边形，6边形，4边形的3个角组成）为例，说明如何构造一个多面体，见下图。 构造方法： 1.先画一个正三角形，作为底面 2.在其周围画3个六边形，是每个顶点满足 6+6+3 的格式。 3.当画出7个正多边形后，整个图形的边缘是一个正六边形，如红色线条所示。 4.这个红色线条所组成的6边形，其实就是这个多面的顶面。加上红色线条组成的这个6边形，则那个有红圈标记的顶点也是(6.6.3)的格式。即这个顶点有2个6边形和1个3角形组成。 5.可以看到，对于等边多面体来说，一个顶点中各个多边形的组合情况，可决定这个多面体的形状。有趣的是，对于等边多面体，当年我首次采用就是这样的记法，如(6.6.3)，这个记法竟然和哪些中学生的记法不谋而合。 关于等边多面体的研究，我所看到的只有台湾福和国民中学几位中学生的研究成果《共球等边多面体》一文了，可从 http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/41/index.htm 找到其链接。 [ 本帖最后由 liangbch 于 2008-7-21 09:18 编辑 ]

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等边多面体有多少种了。是否只有限种。让我们来逐个构造它。 采用楼上的方法，尝试去构造各种等边多面体，结果发现。 1 对于一个顶点具有3个多边形的情况。 1.1 两个同样的偶数多边形和一个任意正多变形，且这个顶点所含的三个角不超过360度。 1.1.1 两个正方形和一个任意正多变形，容易看出，这种组合，使得内角和永远小于360度，故此类多面体有无限多个。他们实际上就是高和顶面边长相同的棱柱，这种类型包括 （4.4.3）5面体 (4.4.4), 就是正6面体 (4.4.5), 7面体 (4.4.6), 8面体 (4.4.7), 9面体 (4.4.8),10面体 (4.4.9),11面体 (4.4.10),12面体 ...... 1.1.2 两个正六边形和一个任意正多边形,且满足多面角不超过360度,这类多面体只有3 种. (6.6.3),8面体 (6.6.4),14面体 (6.6.5),32面体, 就是足球的形状. (6.6.6) 不行,三个角之和达到360度,可以铺地砖了. 1.1.3 两个正八边形和一个任意正多边形,且满足多面角不超过360度,这类多面体只有一种. (8.8.3) ,14面体 (8.8.4),不行,三个角之和达到360度,可以铺地砖了. 1.1.4 两个正十形和一个任意正多边形,且满足多面角不超过360度,这类多面体只有一种 (10.10.3) 32面体. 1.2. 3个偶数边形,且内角和小于360度,这类多边形只有2种. (4.6.8), 26面体 (4.6.10),62面体 (4.6.12), 不行, 三个角之和达到360度,可以铺地砖了. 2 对于一个顶点具有4个多边形的情况。 2.1 每个顶点 包括3个正三角形,一个任意正多变形.容易看出,这样的组合,其多面角总不超过 360个,故这样的组合有无限多个.我最初对此类多面体的命名叫 旋转棱柱. 因为他很像棱柱,有顶面,底面和侧面. 如果顶面是正n边形,则侧面有2n个. 和普通棱柱不一样,顶面的垂直投影和顶面不重合,而是旋转了180/n度.故我叫它 旋转棱柱,而《共球多面体》一文称其为鼓形. 2.2 每个顶点由三角形和另一个多边形交替排列,这种组合只有2种 (3.4.3.4) 14面体 (3.5.3.5) 32面体 (3.6.3.6), 不行,多面角内角和为360度,可以铺地砖了 2.3 采用(3.4.4.4),可组成一个26面体，但在构造这个26面体时发现。虽然可做到每个顶点包含3个正方形和一个三角形，但无法做到完全对称。 2.4 采用(3.4.5.4), 62面体。这个排法 和用（3.4.6.4）这种排法铺地砖一样的效果类似，这个多面体像一个连环套，看起来很美，包括12个五边形，30个四边形，和20个三角形，我曾用三种颜色的纸（每种多边形一种颜色）做了一个灯笼，效果很是不错。 3 对于一个顶点具有5个多边形的情况,由于多边形太多了，而要求内角和小于360度，故组合只有2种。 (3.3.3.3.4) 38面体 (3.3.3.3.5) 92面体 (3.3.3.3.6), 不行，多面角内角和为360度,可以铺地砖了。 我对面数多的多面体更感兴趣，因为他们接近球形。除了柱形和鼓形这两大类多面体以外(随着面数的增多这两类多面体接近一个大饼），面数最多的多面体有几种。 （4.6.10) 62面体，多面体内角和达到空前的354度，离360度只有6度，几乎就是一个球。 (3.4.5.4) 也是62面体，多面体内角和达到348度。 (3.3.3.3.5),面数达到空前的92面，多面体内角和达到348度。 [ 本帖最后由 liangbch 于 2008-7-21 10:26 编辑 ]

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在5楼提到

5.所有等边多面体的 面数

在7楼也看到，多面角内角和越大，其面数越大。这其中规律是什么呢，我早在20年前就发现了这个规律。 对于每个顶点具有3个多边形的等边多面体 面数= 360 / ( 360-内角和）+2 对于每个顶点具有4个多边形的等边多面体 面数= 360 / ( 360-内角和）×2 + 2 对于每个顶点具有5个多边形的等边多面体 面数= 360 / ( 360-内角和）×3 + 2 综合这3个公式，有， 面数= 360 / ( 360-内角和）×（顶点棱数-2） + 2 这个规律对于所有等边多面体都成立，没有例外。谁能给出推理过程或者证明？ [ 本帖最后由 liangbch 于 2008-7-21 10:21 编辑 ]

liangbch

歇会儿先，顺便学习学习 台湾那些中学生的论文，看看有无错漏。 [ 本帖最后由 liangbch 于 2008-7-21 10:29 编辑 ]

gxqcn

这确实是一个有趣的问题。