一个关于素数的问题

mathe

我在网上看到一个问题，估计很难解决。
是说，
证明或否定，对于任意给定的正整数N，必然存在一个正整数$M,1<=M<=N$，使得 $M^2+N^2$ 是素数。

而且猜想可以加强到必然存在一个正整数M使得 $1<=M^2<=N$，使得 $M^2+N^2$ 是素数。

liangbch

mathe 都说很难，看来确实很难了！我就不想了。不过应该不会比哥德巴赫猜想更难吧!!!

348438345

新手报到！
向大家学习！

mathe

其实有一个看起来反向的命题，有很好的结论：
请问，一个素数可以表示成两个自然数的平方和的充分必要条件是什么？如果可以表示，有多少总不同的表示方法？

gxqcn

原帖由 mathe 于 2008-1-17 21:35 发表
其实有一个看起来反向的命题，有很好的结论：
请问，一个素数可以表示成两个自然数的平方和的充分必要条件是什么？如果可以表示，有多少总不同的表示方法？

我所知道的是：除“2”外，一个素数可以表示成两个自然数的平方和的充分必要条件是其被4除余1（即为4n+1型），且该表示法有且仅有一个。
（据说该定理最初由高斯提出，由欧拉首次运用“无穷递降法”证明，而后高斯用二次剩余给出了更简洁的证明。）

mathe

二次剩余法证明必要性很简单，不过好像很难证明充分性。
我见过的证明是用“无穷递降法”

mathe

比较有意思的是我做过一道题：
求5个不同的自然数， 使它们中的任意二个之和都是平方数，
先要求找到10000000以内的所有解。
我在搜索上面解的过程用到了上面的结论。

lijekk

有意思,我试试......

cauchy

原帖由 mathe 于 2008-1-17 21:35 发表
其实有一个看起来反向的命题，有很好的结论：
请问，一个素数可以表示成两个自然数的平方和的充分必要条件是什么？如果可以表示，有多少总不同的表示方法？

当p=4k+1时有且只有一种表示方法，p=4k+3显然不可能
存在性证明可以用一点代数的知识
当p=4k+1时存在m使得p|m^2+1,所以p|(m+i)(m-i)
又p|(m+i) <=> p|(m-i)
因此p不是Z[ i ]中的素元
Gauss整数环Z[ i ]是PID（唯一分解环），
所以p=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

mathe

这个用到了近世代数中Z[ i ]是唯一分解环的知识。不过我印象中唯一分解环的证明过程本身就同直接证明p=4k+1表示成两个平方数的和过程相同, 所以这样的证明过程不是很好