果树问题讨论:这两个问题等价么？

数学星空 · 发表于 2009-7-3 07:38:03

由于每24小时只能上传2M,没办法只能上传好几次.....

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gxqcn · 发表于 2009-7-3 07:47:06

现在已统一上调了上限。各用户组的权限可点击如下页面：http://bbs.emath.ac.cn/memcp.php?action=usergroups

数学星空 · 发表于 2009-7-3 08:57:36

呵,还有5个文件没法上传,只能明天再传了哟....

sheng_jianguo · 发表于 2009-7-3 09:28:40

t_i的定义我清楚.主要是里面包含多少直线的问题.应该是要求所有被这n个点确定的直线都要算进去,是不是? mathe 发表于 2009-7-2 18:03

应该是要求所有被这n个点确定的直线都要算进去。

mathe · 发表于 2009-7-3 11:17:18

嗯,看数学星空贴出的证明过程,的确应该是如此. 如果这样,sheng_jianguo上面贴出的结果基本上没有问题了.

gxqcn · 发表于 2009-7-3 11:28:16

呵,还有5个文件没法上传,只能明天再传了哟.... 数学星空发表于 2009-7-3 08:57

我已转账给你了100金币，你可用它购买成“天使保护组”成员，它将可以解除一些限制，提高权限。

sheng_jianguo · 发表于 2009-7-3 12:50:38

仔细分析前面maxt4的证明可以推出以下一些结果，不知是否对研究20棵树植树问题有帮助：设P为射影平面上的n(>2)个点，ti(3≤i≤n)为恰经过其中i个点的直线数，fi(4≤i≤n)为P对偶中恰有i条边的区域数，则有 t2=3+3+t4+2t5+3t6+…+f4+2f5+3f6+… 另一方面 t2=C(n,2)-C(3,2)t3-C(4,2)t4-C(5,2)t5-C(6,2)t6-… 得 t4=(n+2)(n-3)/2-(3t3+12t5+33t6+…+f4+2f5+3f6+…)/7 这说明，为了使t4达到最大，可改变n个点的位置，使t3,t5,t6,…,f4,f5,f6,…尽可能小。　　　　　　（待续）

sheng_jianguo · 发表于 2009-7-3 13:02:11

现在讨论n=20（20棵树植树问题）的情况。并且在假定t5=t6=t7=…=0(即任何一行树不会超过4棵) 的情况下讨论按前面分析，得 t4=26+[5-(3t3+f4+2f5+3f6+…)]/7 由此得出：若有t4=26（即20棵树，每行4棵的有26行）则必须满足5-(3t3+f4+2f5+3f6+…)=0 若有t4=25（即20棵树，每行4棵的有25行）则必须满足12-(3t3+f4+2f5+3f6+…)=0 若有t4=24（即20棵树，每行4棵的有24行）则必须满足19-(3t3+f4+2f5+3f6+…)=0 以上结果对研究20棵树植树问题可能没多大用处，仅供参考。

sheng_jianguo · 发表于 2009-7-3 13:37:38

举例说明上面公式用处：如要证明t4=26是不存在的。只要证明平面上任意20根直线，若恰3根直线相交点的共有t3个（无恰超过4根直线相交点），且这20根直线将平面划分成的四边形个数+2倍五边形个数+3倍六边形个数+4倍七边形个数+5倍八边形个数+3t3大于5。则恰4根直线相交点的个数小于26个。（当然也不容易证明）

数学星空 · 发表于 2009-7-3 14:31:45

本帖最后由数学星空于 2009-7-3 14:40 编辑 也就是说,若存在t4=26,则只有八种情况

以下为被直线分割成的区域形状数目) (1) 四边形个数4个, 五边形1个,其它多边形无 (2) 三边形1个,五边形1个,其它多边形无(最多3*1+5*1=8<20不可能) (3) 三边形1个,四边形2个,其它多边形无(最多3*1+5*2=13<20不可能) (4) 四边形1个,五边形2个,其它多边形无(最多4*1+5*2=14<20不可能) (5)五边形1个,六边形1个,其它多边形无(最多5*1+6*1=11<20不可能) (6)四边形2个,六边形1个,其它多边形无(最多4*2+6*1=14<20不可能) (7)四边形1个,七边形1个,其它多边形无(最多4*1+7*1=11<20不可能) (8)八边形1个,其它多边形无(最多8<20不可能) 即只有一种可能性,四边形4个,五边形1个的区域分布....剩下就是如何构造了!

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