最少分组方案算法

gxqcn

眨眼即得。 下班了，我得回家了。

无心人

看来是用简单方法能逼近到比较合理的范围的 但很难再推进的

gxqcn

先公布我当前可做到的结果，代码将在奥运闭幕后放出（届时游客也可浏览了）。

分组项目	整数之积 bits数	理论极限值 n0=ceil(bits/32)	实际值 n	极限达成率 (n0/n)*100%
对 1024 以内的素数分组	1420 bits	45 组	47 组	95.7%
对 2048 以内的素数分组	2865 bits	90 组	93 组	96.8%
对前 1024 个正整数分组	8770 bits	275 组	292 组	94.2%
对前 4096 个正整数分组	43251 bits	1352 组	1404 组	96.3%

分组后每组数乘积均可用DWORD表达

希望并期待能有更美妙的算法或结果出现。。。

gxqcn

1. #include < stdio.h >
3. #if 1
4. # if 1
5. # define _SIZE 172 /* 对 1024 以内的素数分组; 1024# 有 1420 bits */
6. # else
7. # define _SIZE 309 /* 对 2048 以内的素数分组; 2048# 有 2865 bits */
8. # endif
9. unsigned int arr[] = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039 };
10. # define _VALUE arr[i]
12. #else
14. # if 0
15. # define _SIZE 1024 /* 对前 1024 个正整数分组; 1024! 有 8770 bits */
16. # else
17. # define _SIZE 4096 /* 对前 4096 个正整数分组; 4096! 有 43251 bits */
18. # endif
19. # define _VALUE ((unsigned int)(i+1))
21. #endif
23. #define _BOUND 0xFFFFFFFFUL /* 上限设定值 */
25. unsigned int bUsed[_SIZE] = { 0 };
27. int main(/*int argc, char* argv[]*/ void)
28. {
29. unsigned int i, product, maxV, count = 0, top = _SIZE - 1, bottom = 0;
31. for ( ; ; )
32. {
33. printf( "No.%u\t:", ++count );
34. for ( i=top, product=1, maxV=_BOUND; (int)i>=(int)bottom; --i )
35. {
36. if ( !bUsed[i] && _VALUE <= maxV )
37. {
38. printf( " %u", _VALUE );
39. maxV = _BOUND / ( product *= _VALUE );
40. bUsed[i] = 1;
41. }
42. }
43. printf( "\t\t%u\n", product );
45. /* 计算新的 (bottom, top)，以大幅减少此后 try 的次数 */
46. for ( ; bottom != top && bUsed[top]; --top );
47. for ( ; bottom != top && bUsed[bottom]; ++bottom );
49. if ( bottom == top )
50. {
51. if ( !bUsed[ i = top ] )
52. { /* 最后一个漏网之鱼 */
53. printf( "No.%u\t: %u\t\t%u\n", ++count, _VALUE, _VALUE );
54. }
55. break; /* 已全部被分组了 */
56. }
57. }
59. return 0;
60. }

复制代码

gxqcn

上述代码是经过高度优化的， 速度非常快，几乎眨眼即得。 （ 也许耗时最多的不是在搜索，而是在printf输出部分） 就结果优化逼近的情况来看，也是非常好的（见21#）。 可有更好的算法或结果？期待中。。。

无心人

呵呵 你的代码等于在现有理论基础上 得到了本问题的一个上界 而根据理论计算有一个下界 优化的方案的结果应该在之间出现 我想，每次取最小的 能得到别的结果吧？ 谁尝试下？ 不过可能不如GxQ的结论好

无心人

我想到一个暴力搜索方案 计算每个数字的2为底的对数 依次计算2元组，3元组...n元组的对数和 然后从中挑选最接近目标对数的组保存备用 暴力组合保存到的结果 呵呵 估计运行时间会很长

gxqcn

研究这个问题是有实际价值的——是我在开发 HugeCalc 中要应用的。 背景如下： 在大整数素性测试中，需要用一些小素数试除，如果能被除尽则必为合数。 而大整数÷小整数的代价并不低，应尽可能地避免或减少， 所以，我们可以把几个素数“捆绑”起来一起测试： 1、将若干个小素数相乘得到乘积p=p1*p2*...*pr； 2、用p做除数去除大整数H，得到一个余数r； 3、计算最大公约数g=gcd(r,p)=gcd(H,p)，若g>1，则H为合数；否则继续判定。 上述过程中， 若p可用CPU的一个int表达，则第2步执行的效率是一定的。 故：我们的目标是采取优化组合，尽可能地减少分组组数。 比如，若直接用 1024 以内的素数试除，需要 172 次“H%p”运算， 而采用新算法后，仅需 47 次“H%p”运算，节省了 72.67%！

无心人

怎么说呢 感觉挺新颖的 但你实际比较过么？

gxqcn

实际上 26# 的算法我早已应用在 HugeCalc 中了，只是尚不够彻底， 没有乱序组合，而仅是按连续素数之积可为 DWORD 型进行分组， 效果当然没有现在 22# 程序给出的好啦。 其提速是显而易见的。