关于算术堆垒的一个猜想的弱化命题

裴进兵

我们将包括 n 个 1 、加、乘和括号的算术式所能得到的最大正整数称为 n 个 1 的极大算术堆垒，并记为f(+,×;n).
易知，对于大于5的n, 若n=3a+2b, (b=0,1,2), 则f(+,×;n)=2^b·3^a.
f(+,×;n)有许多奇妙的性质，也有一些困难而引人注目的猜想，可以通过搜索“整数的复杂度”（最好是对应的英文）找到有关文献。
但我的猜想与那些奇妙的性质和引人注目的猜想都不相同，我的猜想如下：
--------------------------------------------------------------------------------------
裴进兵猜想（弱化）：n≥4时， f(+,×;n)可以表为任意 n 个较小正整数的四则运算.    

例如：f(+,×;11)=54, 从1到54任意选取11个数譬如9、20、24、25、26、32、16、18、33、37、41，由下式可得到54，
                     9×(24-18)+(20+37)-(16+41)+(26+32)-(25+33)=54

上述猜想是我先前曾在本坛发过的一帖《整数的四则分解与堆垒》中提出过一个猜想的弱化。
那个帖子被引导至其它问题讨论上，反而忽略了其中主题猜想，故在此再次单独提出来一个弱化命题。

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裴进兵

f(+,×;4)=4, 共有35种组合：
组合（1） 1  1  1  1------1+1+1+1=4
组合（2） 1  1  1  2------1*1+1+2=4
组合（3） 1  1  1  3------1*1*1+3=4
组合（4） 1  1  1  4------1*1*1*4=4
组合（5） 1  1  2  2------1*1*2*2=4
组合（6） 1  1  2  3------(1+1)/2+3=4
组合（7） 1  1  2  4------1+1-2+4=4
组合（8） 1  1  3  3------(-1-1+3)+3=4
组合（9） 1  1  3  4------(-1-1+3)*4=4
组合（10）1  1  4  4------(1-1)*4+4=4
组合（11）1  2  2  2------(-1+2)*2*2=4
组合（12）1  2  2  3------1+2-2+3=4
组合（13）1  2  2  4------1*(2-2)+4=4
组合（14）1  2  3  3------(-1*2)+3+3=4
组合（15）1  2  3  4------1+2-3+4=4
组合（16）1  2  4  4------(-1-2+4)*4=4
组合（17）1  3  3  3------1+3-3+3=4
组合（18）1  3  3  4------1*(3-3)+4=4
组合（19）1  3  4  4------1+3-4+4=4
组合（20）1  4  4  4------1*(4-4)+4=4
组合（21）2  2  2  2------2+2+2-2=4
组合（22）2  2  2  3------2+2*(-2+3)=4
组合（23）2  2  2  4------2*(2-2)+4=4
组合（24）2  2  3  3------2+2+3-3=4
组合（25）2  2  3  4------(2-2)*3+4=4
组合（26）2  2  4  4------(2-2)*4+4=4
组合（27）2  3  3  3------2+3-3/3=4
组合（28）2  3  3  4------2*(3-3)+4=4
组合（29）2  3  4  4------2+3-4/4=4
组合（30）2  4  4  4------2*(4-4)+4=4
组合（31）3  3  3  3------(3*3+3)/3=4
组合（32）3  3  3  4------3*(3-3)+4=4
组合（33）3  3  4  4------(3-3)*4+4=4
组合（34）3  4  4  4------3*(4-4)+4=4
组合（35）4  4  4  4------4*(4-4)+4=4

f(+,×;5)=6, 共有252种组合：
组合（1）  1  1  1  1  1------(1+1)*(1+1+1)=6
组合（2）  1  1  1  1  2------1*(1+1+1)*2=6
组合（3）  1  1  1  1  3------1*1*(1+1)*3=6
组合（4）  1  1  1  1  4------1*1*(1+1)+4=6
组合（5）  1  1  1  1  5------1*1*1*1+5=6
组合（6）  1  1  1  1  6------1*1*1*1*6=6
组合（7）  1  1  1  2  2------1*(1+1)+2+2=6
组合（8）  1  1  1  2  3------1*1*1*2*3=6
组合（9）  1  1  1  2  4------1*1*1*2+4=6
组合（10） 1  1  1  2  5------1-1-1+2+5=6
组合（11） 1  1  1  2  6------(1-1)*1*2+6=6
组合（12） 1  1  1  3  3------1*1*1*3+3=6
组合（13） 1  1  1  3  4------1-1-1+3+4=6
组合（14） 1  1  1  3  5------(1+1+1)/3+5=6
组合（15） 1  1  1  3  6------(1-1)*1*3+6=6
组合（16） 1  1  1  4  4------1*(-1-1)+4+4=6
组合（17） 1  1  1  4  5------1+(1-1)*4+5=6
组合（18） 1  1  1  4  6------(1-1)*1*4+6=6
组合（19） 1  1  1  5  5------1+(1-1)*5+5=6
组合（20） 1  1  1  5  6------(1-1)*1*5+6=6
组合（21） 1  1  1  6  6------(1-1)*1*6+6=6
组合（22） 1  1  2  2  2------1*1*2*2+2=6
组合（23） 1  1  2  2  3------1+1-2+2*3=6
组合（24） 1  1  2  2  4------1+1-2+2+4=6
组合（25） 1  1  2  2  5------1+1*(2-2)+5=6
组合（26） 1  1  2  2  6------1-1+2-2+6=6
组合（27） 1  1  2  3  3------1+1-2+3+3=6
组合（28） 1  1  2  3  4------(1-1)*4+2*3=6
组合（29） 1  1  2  3  5------1+1+2-3+5=6
组合（30） 1  1  2  3  6------(1-1)*2*3+6=6
组合（31） 1  1  2  4  4------(-1*1*2)+4+4=6
组合（32） 1  1  2  4  5------[(1+1)*2]/4+5=6
组合（33） 1  1  2  4  6------(1-1)*2*4+6=6
组合（34） 1  1  2  5  5------[-(1+1)*2]+5+5=6
组合（35） 1  1  2  5  6------(1-1)*2*5+6=6
组合（36） 1  1  2  6  6------(1-1)*2*6+6=6
组合（37） 1  1  3  3  3------(1-1)*3+3+3=6
组合（38） 1  1  3  3  4------(1-1)*4+3+3=6
组合（39） 1  1  3  3  5------(1-1)*5+3+3=6
组合（40） 1  1  3  3  6------(1-1)*6+3+3=6
组合（41） 1  1  3  4  4------1*1-3+4+4=6
组合（42） 1  1  3  4  5------1+1+3-4+5=6
组合（43） 1  1  3  4  6------(1-1)*3*4+6=6
组合（44） 1  1  3  5  5------(1+1)*3+5-5=6
组合（45） 1  1  3  5  6------(1-1)*3*5+6=6
组合（46） 1  1  3  6  6------(1-1)*3*6+6=6
组合（47） 1  1  4  4  4------1+1+4+4-4=6
组合（48） 1  1  4  4  5------1+1*(4-4)+5=6
组合（49） 1  1  4  4  6------1-1+4-4+6=6
组合（50） 1  1  4  5  5------1+1+4-5+5=6
组合（51） 1  1  4  5  6------(1-1)*4*5+6=6
组合（52） 1  1  4  6  6------(1-1)*4*6+6=6
组合（53） 1  1  5  5  5------1+1*(5-5)+5=6
组合（54） 1  1  5  5  6------1-1+5-5+6=6
组合（55） 1  1  5  6  6------(1-1)*5*6+6=6
组合（56） 1  1  6  6  6------1-1+6-6+6=6
组合（57） 1  2  2  2  2------(-1+2)*2+2+2=6
组合（58） 1  2  2  2  3------1*(2-2)+2*3=6
组合（59） 1  2  2  2  4------1*(2-2)+2+4=6
组合（60） 1  2  2  2  5------1+(2-2)*2+5=6
组合（61） 1  2  2  2  6------1*(2-2)*2+6=6
组合（62） 1  2  2  3  3------1*(2-2)+3+3=6
组合（63） 1  2  2  3  4------1+2+2-3+4=6
组合（64） 1  2  2  3  5------1+(2-2)*3+5=6
组合（65） 1  2  2  3  6------1*(2-2)*3+6=6
组合（66） 1  2  2  4  4------(1+2)*2+4-4=6
组合（67） 1  2  2  4  5------1+(2-2)*4+5=6
组合（68） 1  2  2  4  6------1*(2-2)*4+6=6
组合（69） 1  2  2  5  5------1+(2-2)*5+5=6
组合（70） 1  2  2  5  6------1*(2-2)*5+6=6
组合（71） 1  2  2  6  6------1*(2-2)*6+6=6
组合（72） 1  2  3  3  3------1+2+3+3-3=6
组合（73） 1  2  3  3  4------1*2+3-3+4=6
组合（74） 1  2  3  3  5------1+2*(3-3)+5=6
组合（75） 1  2  3  3  6------1*2*(3-3)+6=6
组合（76） 1  2  3  4  4------1+2+3+4-4=6
组合（77） 1  2  3  4  5------1+2*3+4-5=6
组合（78） 1  2  3  4  6------1-2-3+4+6=6
组合（79） 1  2  3  5  5------1*2*3+5-5=6
组合（80） 1  2  3  5  6------1*2+3-5+6=6
组合（81） 1  2  3  6  6------1*2*3+6-6=6
组合（82） 1  2  4  4  4------1*2+4+4-4=6
组合（83） 1  2  4  4  5------1+2*(4-4)+5=6
组合（84） 1  2  4  4  6------1*2*(4-4)+6=6
组合（85） 1  2  4  5  5------1*2+4+5-5=6
组合（86） 1  2  4  5  6------1-2-4+5+6=6
组合（87） 1  2  4  6  6------1*2+4+6-6=6
组合（88） 1  2  5  5  5------1+2*(5-5)+5=6
组合（89） 1  2  5  5  6------1*2*(5-5)+6=6
组合（90） 1  2  5  6  6------1-2-5+6+6=6
组合（91） 1  2  6  6  6------1*2*(6-6)+6=6
组合（92） 1  3  3  3  3------1*(3-3)+3+3=6
组合（93） 1  3  3  3  4------1+3+3+3-4=6
组合（94） 1  3  3  3  5------1+(3-3)*3+5=6
组合（95） 1  3  3  3  6------1*(3-3)*3+6=6
组合（96） 1  3  3  4  4------1*3+3+4-4=6
组合（97） 1  3  3  4  5------1+(3-3)*4+5=6
组合（98） 1  3  3  4  6------1*(3-3)*4+6=6
组合（99） 1  3  3  5  5------1*3+3+5-5=6
组合（100）1  3  3  5  6------1*(3-3)*5+6=6
组合（101）1  3  3  6  6------1*(3-3)*6+6=6
组合（102）1  3  4  4  4------(-1+3+4)+4-4=6
组合（103）1  3  4  4  5------1+3*(4-4)+5=6
组合（104）1  3  4  4  6------1*3*(4-4)+6=6
组合（105）1  3  4  5  5------(-1+3+4)+5-5=6
组合（106）1  3  4  5  6------(1+3-4)*5+6=6
组合（107）1  3  4  6  6------(-1+3+4)+6-6=6
组合（108）1  3  5  5  5------1+3*(5-5)+5=6
组合（109）1  3  5  5  6------1*3*(5-5)+6=6
组合（110）1  3  5  6  6------(-1+3+5)-6/6=6
组合（111）1  3  6  6  6------1*3*(6-6)+6=6
组合（112）1  4  4  4  4------1*(4+4)/4+4=6
组合（113）1  4  4  4  5------1+4*(4-4)+5=6
组合（114）1  4  4  4  6------1*4*(4-4)+6=6
组合（115）1  4  4  5  5------1+(4-4)*5+5=6
组合（116）1  4  4  5  6------1*(4-4)*5+6=6
组合（117）1  4  4  6  6------1*(4-4)*6+6=6
组合（118）1  4  5  5  5------1+4*(5-5)+5=6
组合（119）1  4  5  5  6------1*4*(5-5)+6=6
组合（120）1  4  5  6  6------(1+4-5)*6+6=6
组合（121）1  4  6  6  6------1*4*(6-6)+6=6
组合（122）1  5  5  5  5------1+5*(5-5)+5=6
组合（123）1  5  5  5  6------1*5*(5-5)+6=6
组合（124）1  5  5  6  6------1*(5-5)*6+6=6
组合（125）1  5  6  6  6------1*5*(6-6)+6=6
组合（126）1  6  6  6  6------1*6*(6-6)+6=6
组合（127）2  2  2  2  2------2+2+2+2-2=6
组合（128）2  2  2  2  3------2*(2-2)+2*3=6
组合（129）2  2  2  2  4------2*(2-2)+2+4=6
组合（130）2  2  2  2  5------(2+2)/(2+2)+5=6
组合（131）2  2  2  2  6------2*(2-2)*2+6=6
组合（132）2  2  2  3  3------2*(2-2)+3+3=6
组合（133）2  2  2  3  4------2+(2-2)*3+4=6
组合（134）2  2  2  3  5------2*2*2+3-5=6
组合（135）2  2  2  3  6------2*(2-2)*3+6=6
组合（136）2  2  2  4  4------2+(2-2)*4+4=6
组合（137）2  2  2  4  5------(2+2+2)*(-4+5)=6
组合（138）2  2  2  4  6------2*(2-2)*4+6=6
组合（139）2  2  2  5  5------2+2+2+5-5=6
组合（140）2  2  2  5  6------2*(2-2)*5+6=6
组合（141）2  2  2  6  6------2*(2-2)*6+6=6
组合（142）2  2  3  3  3------(2-2)*3+3+3=6
组合（143）2  2  3  3  4------2+2+3+3-4=6
组合（144）2  2  3  3  5------2/2*3/3+5=6
组合（145）2  2  3  3  6------2-2+3-3+6=6
组合（146）2  2  3  4  4------2*(4-4)+2*3=6
组合（147）2  2  3  4  5------2+2+3+4-5=6
组合（148）2  2  3  4  6------(2-2)*3*4+6=6
组合（149）2  2  3  5  5------2*(5-5)+2*3=6
组合（150）2  2  3  5  6------(2-2)*3*5+6=6
组合（151）2  2  3  6  6------(2-2)*3*6+6=6
组合（152）2  2  4  4  4------2+2*(4-4)+4=6
组合（153）2  2  4  4  5------2/2*4/4+5=6
组合（154）2  2  4  4  6------2-2+4-4+6=6
组合（155）2  2  4  5  5------2*(5-5)+2+4=6
组合（156）2  2  4  5  6------(2-2)*4*5+6=6
组合（157）2  2  4  6  6------(2-2)*4*6+6=6
组合（158）2  2  5  5  5------2-2+5+5/5=6
组合（159）2  2  5  5  6------2-2+5-5+6=6
组合（160）2  2  5  6  6------(2-2)*5*6+6=6
组合（161）2  2  6  6  6------2-2+6-6+6=6
组合（162）2  3  3  3  3------2*(3-3)+3+3=6
组合（163）2  3  3  3  4------2+3*(3-3)+4=6
组合（164）2  3  3  3  5------2+3+3+3-5=6
组合（165）2  3  3  3  6------2*(3-3)*3+6=6
组合（166）2  3  3  4  4------2+(3-3)*4+4=6
组合（167）2  3  3  4  5------(2+4-5)*(3+3)=6
组合（168）2  3  3  4  6------2*(3-3)*4+6=6
组合（169）2  3  3  5  5------2*(5-5)+3+3=6
组合（170）2  3  3  5  6------2*(3-3)*5+6=6
组合（171）2  3  3  6  6------2*(3-3)*6+6=6
组合（172）2  3  4  4  4------2+3*(4-4)+4=6
组合（173）2  3  4  4  5------2*3+(4-4)*5=6
组合（174）2  3  4  4  6------2*3*(4-4)+6=6
组合（175）2  3  4  5  5------2*3+4*(5-5)=6
组合（176）2  3  4  5  6------(2+3-5)*4+6=6
组合（177）2  3  4  6  6------2*3+4*(6-6)=6
组合（178）2  3  5  5  5------2*3+5*(5-5)=6
组合（179）2  3  5  5  6------2*3*(5-5)+6=6
组合（180）2  3  5  6  6------2*3+5*(6-6)=6
组合（181）2  3  6  6  6------2*3+6*(6-6)=6
组合（182）2  4  4  4  4------2+4*(4-4)+4=6
组合（183）2  4  4  4  5------2+4+(4-4)*5=6
组合（184）2  4  4  4  6------2*4*(4-4)+6=6
组合（185）2  4  4  5  5------2+4+4*(5-5)=6
组合（186）2  4  4  5  6------2*(4-4)*5+6=6
组合（187）2  4  4  6  6------2*(4-4)*6+6=6
组合（188）2  4  5  5  5------2+4+5*(5-5)=6
组合（189）2  4  5  5  6------2+4+(5-5)*6=6
组合（190）2  4  5  6  6------2+4+5*(6-6)=6
组合（191）2  4  6  6  6------2+4+6*(6-6)=6
组合（192）2  5  5  5  5------(2*5)/(5+5)+5=6
组合（193）2  5  5  5  6------2*5*(5-5)+6=6
组合（194）2  5  5  6  6------2*(5-5)*6+6=6
组合（195）2  5  6  6  6------2*5*(6-6)+6=6
组合（196）2  6  6  6  6------2*6*(6-6)+6=6
组合（197）3  3  3  3  3------3+3+3*(3-3)=6
组合（198）3  3  3  3  4------3+3+(3-3)*4=6
组合（199）3  3  3  3  5------3+3+(3-3)*5=6
组合（200）3  3  3  3  6------3+3+(3-3)*6=6
组合（201）3  3  3  4  4------3+3+3*(4-4)=6
组合（202）3  3  3  4  5------3-3-3+4+5=6
组合（203）3  3  3  4  6------3*(3-3)*4+6=6
组合（204）3  3  3  5  5------3+3+3*(5-5)=6
组合（205）3  3  3  5  6------3*(3-3)*5+6=6
组合（206）3  3  3  6  6------3*(3-3)*6+6=6
组合（207）3  3  4  4  4------3+3+4*(4-4)=6
组合（208）3  3  4  4  5------3+3+(4-4)*5=6
组合（209）3  3  4  4  6------3+3+(4-4)*6=6
组合（210）3  3  4  5  5------3+3+4*(5-5)=6
组合（211）3  3  4  5  6------(3-3)*4*5+6=6
组合（212）3  3  4  6  6------(3-3)*4*6+6=6
组合（213）3  3  5  5  5------3+3+5*(5-5)=6
组合（214）3  3  5  5  6------3-3+5-5+6=6
组合（215）3  3  5  6  6------(3-3)*5*6+6=6
组合（216）3  3  6  6  6------3-3+6-6+6=6
组合（217）3  4  4  4  4------3*(4/4+4/4)=6
组合（218）3  4  4  4  5------3*[4/4+(5-4)]=6
组合（219）3  4  4  4  6------3*4*(4-4)+6=6
组合（220）3  4  4  5  5------3*(4/4+5/5)=6
组合（221）3  4  4  5  6------3*(4-4)*5+6=6
组合（222）3  4  4  6  6------3*(4-4)*6+6=6
组合（223）3  4  5  5  5------3*[5/5+(5-4)]=6
组合（224）3  4  5  5  6------3*4*(5-5)+6=6
组合（225）3  4  5  6  6------3*[6/6+(5-4)]=6
组合（226）3  4  6  6  6------3*4*(6-6)+6=6
组合（227）3  5  5  5  5------3*(5/5+5/5)=6
组合（228）3  5  5  5  6------3*5*(5-5)+6=6
组合（229）3  5  5  6  6------3*(5-5)*6+6=6
组合（230）3  5  6  6  6------3*5*(6-6)+6=6
组合（231）3  6  6  6  6------3*6*(6-6)+6=6
组合（232）4  4  4  4  4------4+(4/4+4/4)=6
组合（233）4  4  4  4  5------(4+4)/(4+4)+5=6
组合（234）4  4  4  4  6------4-4+4-4+6=6
组合（235）4  4  4  5  5------4+(4/4+5/5)=6
组合（236）4  4  4  5  6------4*(4-4)*5+6=6
组合（237）4  4  4  6  6------4*(4-4)*6+6=6
组合（238）4  4  5  5  5------(4/4)*(5/5)+5=6
组合（239）4  4  5  5  6------4-4+5-5+6=6
组合（240）4  4  5  6  6------(4-4)*5*6+6=6
组合（241）4  4  6  6  6------4-4+6-6+6=6
组合（242）4  5  5  5  5------4+(5/5+5/5)=6
组合（243）4  5  5  5  6------4*5*(5-5)+6=6
组合（244）4  5  5  6  6------4*(5-5)*6+6=6
组合（245）4  5  6  6  6------4*5*(6-6)+6=6
组合（246）4  6  6  6  6------4*6*(6-6)+6=6
组合（247）5  5  5  5  5------(5+5)/(5+5)+5=6
组合（248）5  5  5  5  6------5-5+5-5+6=6
组合（249）5  5  5  6  6------5*(5-5)*6+6=6
组合（250）5  5  6  6  6------5-5+6-6+6=6
组合（251）5  6  6  6  6------5*(6-6)*6+6=6
组合（252）6  6  6  6  6------6-6+6-6+6=6

hujunhua

按公式f(+,×;n)=2^b·3^a, (n=3a+2b, b=0,1,2) 可得
`b=0`时，`f(+,×;n)= 3^{n/3}`
`b=1`时，`f(+,×;n)=2·3^{(n-2)/3}\approx0.9615\cdot3^{n/3}`
`b=2`时，`f(+,×;n)=4·3^{(n-4)/3}\approx0.92448\cdot3^{n/3}`
综合以上3式可知，`0.92448\cdot3^{n/3}< f(+,×;n)\le 3^{n/3}`

我们可以转而考虑更一般的问题。对于一个正整数 n, 探查一个函数 g(n), 使得 n 可表为任意 g(n)个较小正整数（1≤□≤n）的算术运算。考虑最小的g(n), 记为G(n).
我不认为G(n)会与f(+,×;n)的反函数有关联，以f(+,×;n)来做下限猜想显得无厘头。

aimisiyou

想起以前玩纸牌游戏24点(除大小王外的四张牌(J代表11,Q代表12,K代表13),通过加减乘除得到24)!有些情况下是没有解的.那么最少要几张牌,通过加减乘除括号优先必然会得到24?

裴进兵

aimisiyou 发表于 2015-10-12 13:48
想起以前玩纸牌游戏24点(除大小王外的四张牌(J代表11,Q代表12,K代表13),通过加减乘除得到24)!有些情况下是 ...

7张，这个我研究过

裴进兵

以下是n<10时，n个1通过加减乘除和括号优先计算所能得到的所有正整数

   n     所能得到数   
   1----( 1 )
   2----( 1、2 )
   3----( 1、2、3 )
   4----( 1、2、3、4 )
   5----( 1、2、3、4、5、6 )
   6----( 1、2、3、4、5、6、7、8、9 )
   7----( 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12 )----空缺11
   8----( 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、18 )----空缺17
   9----( 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、24、27 )----空缺22、23、25、26

  空缺的应该是标准分解式比较短的一些数，具体规律比较难把握。

whbns

最近在做一个关于24点的东西，看到这个问题感觉挺有意思的。不过这个问题想要解决感觉难度不小。
解决方法一般就是找反例或者证明成立，分别帮楼主找点思路吧。

找反例的思路：
按照24点的规律，一般来说当几个参与计算的数字非常接近（多个重复）的时候更容易出现无解的情况。比如6个1-13之间的数字算24无解的组合是：
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 2 2
1 10 10 10 10 10
9 9 9 9 9 9
9 9 9 9 9 10
9 9 9 10 10 10
9 9 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10
共同规律就是相同（或相差1）的数字多，很大的原因是这类数字组合能构成的（非等效）表达式数量远远少于"3 6 8 9 10 12"这类组合。所以找反例可以从n个相同的数字上着手。而这个相同数字的不同选择也会有不同效果。比如6个9或6个10对24无解，7个17对24依然无解。也就是说对目标数24来说9和10附近以及17附近比较容易出现无解的组合。

现在回到楼主的问题上，选n = 11，f(+,×;11) = 54
我用程序跑了一下11个1至11个54这54组数对{0, 1, 2..., 54}这55个目标数分别的解的个数。（等效表达式去重不是很完美，但是数量级上看应该不会有问题）
第k行表示了11个k对0-54分别的解的个数。(图上只是一部分)



对结果加1再取对数就是下图。越偏绿色解的数量越多，越偏红了解越少。



可以看出：
1. 除了11个1以外其他每组数对0-54的每个目标数都有解。
2. 选的数在44左右的时候解的数量会偏少。
所以找反例的时候可以着重尝试在目标数80%左右的数字。
比如算81的时候选类似"63 63 63 63 63 63 63 62 62"这样的组合，在目标数80%左右，自身因数不多，前后相差不超过1。（这个例子确实是无解的，不过只有9个数字）

困难：
按照以往的经验看，当n比较小的时候很难存在反例。但当n达到15左右的时候，即使所有数字都一样，验证一个反例也需要相当长的时间。（时间复杂度至少是阶乘级的）

正向证明的思路：

直接证明的话可以考虑把问题先稍微一般化一下。
通过上面的试验结果可以看出，除了11个1以外其他每组数对0-54的每个目标数都有解，事实上"1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2"就已经对0-54都有解了。
所以可以考虑把假设一般化为：
所有能由n个1表示的正整数都能表示为任意n个不大于f(+,×;11)的正整数的四则运算。
或者
所有不大于f(+,×;11)的正整数都能表示为任意（除n个1外）n个不大于f(+,×;11)的正整数的四则运算。
然后可以尝试用归纳法分类考虑。

不过总得来说还是很困难的，感觉比较可行的方法还是优化算法然后试着找反例。

另外如果楼主有比较好的等效表达式去重的算法希望可以讨论一下。

裴进兵

whbns 发表于 2016-4-16 08:20
最近在做一个关于24点的东西，看到这个问题感觉挺有意思的。不过这个问题想要解决感觉难度不小。
解决方法 ...

邀请你去看一下，我的另一篇关于猜想的帖子，《正整数的四则分解与堆垒》（我自己琢磨的，恳请大家帮忙论证），想要一定得到24，需要数量9个、数值在1到24之间的任意数

whbns

裴进兵 发表于 2016-4-16 23:54
邀请你去看一下，我的另一篇关于猜想的帖子，《正整数的四则分解与堆垒》（我自己琢磨的，恳请大家帮忙论 ...

根据猜想的叙述是这样的。不过问题是n稍微大一点，程序验证就要非常长的时间。

裴进兵

whbns 发表于 2016-4-16 08:20
最近在做一个关于24点的东西，看到这个问题感觉挺有意思的。不过这个问题想要解决感觉难度不小。
解决方法 ...

从{1,2,...,k}中可重复地取n个数，有S(n)=C(n+k-1,n)种组合
n=2,  f(+,×;2)=2， S(2)=C(3,2)=3
n=3,  f(+,×;3)=3， S(3)=C(5,3)=10
n=4,  f(+,×;4)=4， S(4)=C(7,4)=35
n=5,  f(+,×;5)=6， S(5)=C(10,5)=252
n=6,  f(+,×;6)=9， S(6)=C(14,6)=3003