类似费马大定理n=3的整数方程可解性

zeroieme

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html
78~82更接近我的要求。先记录

mathe

取$x_1={-12kz}/{x+y},y_1={k(x-y)}/{6(x+y)}$
转化为椭圆曲线方程$y_1^2=x_1^3-432k^2$的有理解

zeroieme

mathe 发表于 2015-10-25 09:48
取$x_1={-12kz}/{x+y},y_1={k(x-y)}/{6(x+y)}$
转化为椭圆曲线方程$y_1^2=x_1^3-432k^2$的有理解

为什么代入等价方程为 $15553 x^3 + 46655 x^2 y + 46655 x y^2 + 15553 y^3 = -62208 k z^3$

mathe

那就是笔算弄错了系数了。
我们现在做变换\(\frac{x}{z}=u+v,\frac{y}{z}=u-v\),带入方程\((\frac{x}{z})^3+(\frac{y}{z})^3=k\)
得到\(u^3+3uv^2=\frac{k}{2}\)
或者
\(\frac{1}{3}+(\frac{v}{u})^2=\frac{k}{6}(\frac{1}{u})^3\)
让\(\frac{1}{36k}y_1=\frac{v}{u},\frac{1}{6k}x_1=\frac{1}{u}\)
带入得到
\(y_1^2=x_1^3-432k^2\)
得变换公式:
\(y_1=36k\frac{x-y}{x+y},x_1=\frac{12kz}{x+y}\)
上面算错了。

zeroieme

依然在我的知识范围之外

zeroieme

100000内暴搜出3组整数结

mathe

在椭圆曲线群上利用上述解的线性组合可以构造出无穷组解

zeroieme

mathe 发表于 2015-10-26 18:02
在椭圆曲线群上利用上述解的线性组合可以构造出无穷组解

小补了下椭圆曲线群的知识，有个问题：我得到两点产生的这个加群，能确定是所有有理点集全集吗？还是子集？

mathe

首先要确定这个曲线的秩是否为2，计算椭圆曲线的秩还没有一般化的好方法，但是有些定理和猜想可以借用。在秩为2的情况下，选择元素为生成元才行。当然对于椭圆曲线通常生成元分子分母都比较小，所以通常问题不大。

zeroieme

在帖吧有人帮算了，秩=2。生成元有办法确定吗？