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[提问] 连续n个平方数的和仍然是一个平方数

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发表于 2015-10-24 19:34:37 | 显示全部楼层 |阅读模式

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设第一个平方数为\(x^{2}\),则最后一个平方数为\((x+n-1)^{2}\), 它们的和为\(y^{2}\),则有:
\(n x^{2}+n(n-1)x+{\dfrac 16}n(n-1)(2n-1)=y^{2}\)
问题等价于解决这个不定方程
当n=2的时候,肯定是有无数组解的。
其他情况呢?
目前已知:
1^2+2^2+3^2+……+24^2=70^2
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2015-10-24 20:08:39 | 显示全部楼层
\(6n x^{2}+6n(n-1)x+n(n-1)(2n-1)=6y^{2}\)
\(6n x^{2}+6n(n-1)x+n(n-1)(2n-1)-6y^{2}=0\)
将其视作关于x的一元二次方程。
\(\Delta=36n^{2}(n-1)^{2}-24n[n(n-1)(2n-1)-6y^{2}]\)
\(=36n^{2}(n-1)^{2}-24n^{2}(n-1)(2n-1)+144ny^{2}\)

所以判别式是12的倍数,
由于必然有\(\Delta=k^{2}\),从而k是6的倍数
令k=6u,
\(\Delta=36u^{2}\)
\(36u^{2}=36n^{2}(n-1)^{2}-24n^{2}(n-1)(2n-1)+144ny^{2}\)
\(3u^{2}=3n^{2}(n-1)^{2}-2n^{2}(n-1)(2n-1)+12ny^{2}\)

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 楼主| 发表于 2015-10-24 20:18:06 | 显示全部楼层
\(3(n-1)^{2}-2(n-1)(2n-1)\)
\(=3(n^{2}-2n+1)-2(2n^{2}-3n+1)\)
\(=(3n^{2}-6n+3)-(4n^{2}-6n+2)\)
\(=-n^{2}+1\)
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 楼主| 发表于 2015-10-24 20:23:32 | 显示全部楼层
\(3u^{2}=n^{2}(1-n^{2})+12ny^{2}\)
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 楼主| 发表于 2015-10-24 23:06:18 | 显示全部楼层
若n为奇素数,用p代替n:
\(3u^{2}=12py^{2}-p^{2}(p^{2}-1)\)
等式右边是奇素数p的倍数。
若p=3
\(u^{2}=12y^{2}-24\)
从而u是6的倍数,令u=6v,
\(36v^{2}=12y^{2}-24\)
\(3v^{2}=y^{2}-2\)
\(y^{2}=3v^{2}+2\)
这是不可能的。所以n不等于3。

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 楼主| 发表于 2015-10-24 23:15:22 | 显示全部楼层
当p不等于3时,等式右边是奇素数p的倍数。
所以u是p的倍数,令u=pv
\(3p^{2}v^{2}=12py^{2}-p^{2}(p^{2}-1)\)
\(3pv^{2}=12y^{2}-p(p^{2}-1)\)
从而\(12y^{2}\)是p的倍数,所以y是p的倍数,令y=pt
\(3pv^{2}=12p^{2}t^{2}-p(p^{2}-1)\)
\(3v^{2}=12pt^{2}-(p^{2}-1)\)
\(3v^{2}=12pt^{2}-p^{2}+1\)
\(p^{2}-12pt^{2}+3v^{2}-1=0\)
\(p^{2}-12pt^{2}+36t^{4}+3v^{2}-1-36t^{4}=0\)
\((p-6t^{2})^{2}+3v^{2}-1-36t^{4}=0\)
\((p-6t^{2})^{2}=36t^{4}-3v^{2}+1\)
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 楼主| 发表于 2015-10-24 23:50:41 | 显示全部楼层
令\(p^{2}-1=12s\)
\(3v^{2}=12pt^{2}-12s\)
\(v^{2}=4pt^{2}-4s\)
从而\(v\)是偶数,令\(v=2m\),
\(4m^{2}=4pt^{2}-4s\)
\(m^{2}=pt^{2}-s\)
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发表于 2015-10-25 11:02:19 | 显示全部楼层
x=1的情况下,答案只有两组。这个问题大概在五年前讨论过,论坛搜不出来,只能给一个官方链接了
http://mathworld.wolfram.com/CannonballProblem.html
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 楼主| 发表于 2015-10-25 11:36:32 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2015-10-25 11:02
x=1的情况下,答案只有两组。这个问题大概在五年前讨论过,论坛搜不出来,只能给一个官方链接了
http://ma ...

这是lucas猜想了,早就证明了。不过x不等于1的情况如何呢?
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 楼主| 发表于 2015-10-26 23:14:38 | 显示全部楼层
原来有人研究过这个问题
http://www.thomasoandrews.com/math/squares.html
就是他的证明我还没细看
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