求最长弦

aimisiyou

题不是很难，但很繁琐，有没有好的方法？

已知椭圆\(\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{3}=1\)，弦\(AB\)的中点到椭圆的中心的距离是\(3\)，则\(|AB|\)的最大值为______

kastin

设点`A(x_1,y_1)`,`B(x_2,y_2)`，记 `x_0=(x_1+x_2)/2,\,y_0=(y_1+y_2)/2`，由已知有$$\begin{align*}\frac{x_1^2}{13}+\frac{y_1^2}{3}=1\tag{1}\\
\frac{x_2^2}{13}+\frac{y_2^2}{3}=1\tag{2}\end{align*}$$`(1)-(2)`得$$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{3x_0}{13y_0}\tag{3}$$因为弦中点到中心距离为定值3，即$$x_0^2+y_0^2=9\tag{4}$$故弦的参数方程为$$\begin{cases}x=x_0+13y_0t=3\cos\theta+39t\sin\theta\\y=y_0-3x_0t=3\sin\theta-9t\cos\theta\end{cases}$$其中参数 `t` 为弦中点到弦上任一点的有向距离(朝`x`正方向)。
将参数方程代入椭圆标准方程中，得到关于 `t` 的二次方程，该方程有2个根`t_1,\,t_2`，因此弦长$$|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}$$然后利用韦达定理可得到一个三角函数表达式，求出该三角函数表达式的最大值即可。

hujunhua

如果是我来拟这个题，一定设为“弦AB的中点到椭圆的中心的距离是`\sqrt3`”

倪举鹏

满足(2*(8-5*cos(x+y)))*sin((x-y)*(1/2))^2-12-10*cos(x)^2-10*cos(y)^2=0
求(4*(8-5*cos(x+y)))*sin((x-y)*(1/2))^2的极值。大家算算，我怎么求出一大堆x,y的虚数解，就没有一个实数解的

倪举鹏

结果2

aimisiyou

倪举鹏 发表于 2015-10-28 16:56
结果2

结果是对的。但过程有没有简洁的方法？

倪举鹏

就像知道时钟三个针长度那个问题   求什么时候三个针尖连接的三角形面积最大

aimisiyou

设弦长为\(L\)，根据中线定理可得：\(|OA|^2+|OB|^2=18+\dfrac {L^2}{4}\)

数学星空

对于一般的问题：

椭圆

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

中弦的中点至原点长为\(m\)

则弦长\(d\)的最值满足：

\[(a^2-b^2)d^4+(-8a^4-8a^2m^2+8b^2m^2)d^2+16a^6+16a^4b^2-32a^4m^2+16a^2m^4-16b^2m^4=0\]

代入

\[a=\sqrt{13},b=\sqrt{3},m=3\]

得到：

\(d=\frac{\sqrt{2590-390\sqrt{41}}}{5}=1.92646357246837\)

aimisiyou

数学星空 发表于 2015-10-28 20:05
对于一般的问题：

椭圆

难道不是2么？