求最长弦

wayne

设中点为${x_0,y_0}$，设弦长的一半是$t$,那么两个端点坐标是${x_0+t cos\theta,y_0+t sin\theta},{x_0-t cos\theta,y_0-t sin\theta}$，带入椭圆方程，相加减，得到两个方程，再联立$x_0^2+y_0^2=9$得到：
$t^2 =-\frac{78 (9 \cos ^2(\theta )-26 \sin ^2(\theta ))}{2197 \sin ^4(\theta )+27 \cos ^4(\theta )+624 \sin ^2(\theta ) \cos ^2(\theta )}<=1$，于是弦长最大值是 $2$,在$tan \theta = -3 \sqrt{\frac{3}{13}}$ 处取得。

1. sol=t/.First@Solve[{(2x^2+2t Cos[\[Theta]]^2)/13+(2y^2+2t Sin[\[Theta]]^2)/3==2,x Cos[\[Theta]]/13+y Sin[\[Theta]]/3==0,x^2+y^2==9},t,{x,y}]

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aimisiyou

wayne 发表于 2015-10-28 23:21
设中点为${x_0,y_0}$，设弦长的一半是$t$,那么两个端点坐标是${x_0+t cos\theta,y_0+t sin\theta},{x_0-t c ...

难道斜率只能为负值吗？根据对称性可知最长弦有四条，一、二、三、四象限均有！

aimisiyou

假设椭圆内一定点P，过\(P(x_0,y_0)\)任作一直线交椭圆于A、B两点，则很容易算出A、B中点轨迹为一椭圆。现在P点在圆心为原点半径为3的圆上移动，那么此时P点是不是圆和椭圆相切的点？是否此时过P点的弦AB最长？