问星空：内角平分线三角形？

陈九章

任意三角形的三条中线可构成三角形-------中线三角形，且其面积为原三角形面积的3/4.
任意三角形的三条内角平分线不一定可构成三角形，
问：怎样的三角形的三条内角平分线能构成三角形？这个三角形有何特性？

陈九章

任意四面体的二条对棱中点的连线叫做四面体的中位线。
猜想：任意四面体的三条中位线可构成三角形？

数学星空

设三角形三边长分别为\(a,b,c\),对应的角平分线长为\(t_a,t_b,t_c\)

若要求\(t_a,t_b,t_c\)构成三角形，则需要

\(t_a^2-(t_b-t_c)^2\gt 0\)...............(1)

\(-a^{10}b^2c^2-2a^9b^4c-8a^9b^3c^2-8a^9b^2c^3-2a^9bc^4-a^8b^6-6a^8b^5c-14a^8b^4c^2-22a^8b^3c^3-14a^8b^2c^4-6a^8bc^5-a^8c^6-2a^7b^7-6a^7b^6c-4a^7b^5c^2-4a^7b^2c^5-6a^7bc^6-2a^7c^7-a^6b^8-6a^6b^7c+5a^6b^6c^2+58a^6b^5c^3+90a^6b^4c^4+58a^6b^3c^5+5a^6b^2c^6-6a^6bc^7-a^6c^8-6a^5b^8c-4a^5b^7c^2+58a^5b^6c^3+152a^5b^5c^4+152a^5b^4c^5+58a^5b^3c^6-4a^5b^2c^7-6a^5bc^8-2a^4b^9c-14a^4b^8c^2+90a^4b^6c^4+152a^4b^5c^5+90a^4b^4c^6-14a^4b^2c^8-2a^4bc^9-8a^3b^9c^2-22a^3b^8c^3+58a^3b^6c^5+58a^3b^5c^6-22a^3b^3c^8-8a^3b^2c^9-a^2b^{10}c^2-8a^2b^9c^3-14a^2b^8c^4-4a^2b^7c^5+5a^2b^6c^6-4a^2b^5c^7-14a^2b^4c^8-8a^2b^3c^9-a^2b^2c^{10}-2ab^9c^4-6ab^8c^5-6ab^7c^6-6ab^6c^7-6ab^5c^8-2ab^4c^9-b^8c^6-2b^7c^7-b^6c^8 \gt 0 \)...............(2)

若设

\(s_1=a+b+c\)

\(s_2=ab+ac+bc\)

\(s_3=abc\)

则(2)可写成：

\(-s_1^8s_3^2+6s_1^6s_2s_3^2-2s_1^5s_2^3s_3-10s_1^5s_3^3-s_1^4s_2^2s_3^2+10s_1^3s_2^4s_3-s_1^2s_2^6+18s_1^3s_2s_3^3-42s_1^2s_2^3s_3^2+4s_1s_2^5s_3-21s_1^2s_3^4+60s_1s_2^2s_3^3-4s_2^4s_3^2-32s_2s_3^4 \gt 0\)

例如：取\(a=3,b=4\),得到下面不等式：

\(-144c^{10}-10248c^9-117505c^8-180782c^7+4194983c^6+29116584c^5+73020936c^4+31465728c^3-184868496c^2-313818624c-146313216 \gt 0 \)

得到：

\(1.67805734269521..\lt c \lt 6.76707253303560..\)

当然比较专业的说法：

若\(\triangle ABC\)  的角平分线\(t_a,t_b,t_c\)能构成三角形，求\(k=\frac{\max\{a,b,c\}}{a+b+c}\)的取值条件？

aimisiyou

若\(\triangle ABC\)三边长分别为\(a,b,c\),令\(a>b>c\)则有\(b+c>a\)对应的的角平分线长为\( t_a,t_b,t_c\)，则有\(t_a^2=bc(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}),t_b^2=ac(1-\frac{b^2}{(a+c)^2}),t_c^2=ab(1-\frac{c^2}{(a+b)^2})\),故\(t_c>t_b>t_a\),则有\(t_a+t_b > t_c\)。

陈九章

谢谢数学星空老师和aimisiyou老师的详细解答。
经询问：陈计教授曾研究过这个问题，得到了一个很强的定理。不过，我没有看到。

陈九章

任意四面体的二条对棱中点的连线叫做四面体的中位线。
猜想：任意四面体的三条中位线可构成三角形？
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倪举鹏点评：明显不行想象一下两个对凌很短但是距离很远。
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倪举鹏老师的点评未免武断。

数学星空

你是说的是：

《数学通讯》1996年第03期 作者：陈计，庞火茂，陈聪杰：　角平分线构成的三角形　？

下面是网络上找到的相关内容：

陈九章

谢谢星空！
数学星空，大显神通！

陈九章

P是正△ABC平面上一点，当P不在正△ABC外接圆上时，PA、PB、PC总可构成三角形。
如果把正△ABC改成任意△ABC，情况又怎样呢?

陈九章

换一种说法：P是正△ABC平面上一点，当P在正△ABC外接圆上时，PA、PB、PC中较短二线段之和等于较长线段。
如果把正△ABC改成任意△ABC，情况又怎样呢?