问星空：内角平分线三角形？

数学星空

下面截图来自于2010年<中国初等数学研究>Ｐ71 ----
<对三角形角平分线构成三角形的探讨>　魏清泉

陈九章

谢谢星空老师的回复！
这个深刻的定理，在陈计教授的文章里也有。

陈九章

请星空老师考虑一下，下列猜想应该是对的。
任意四面体的二条对棱中点的连线叫做四面体的中位线。
猜想：任意四面体的三条中位线可构成三角形？

陈九章

谢谢hujunhua老师的回复。
四面体的三条中位线受到四面体六边的约束，不是任意正三元组。
这与三角形的中线受到三角形三边的约束是类似的。
三角形的中线三角形存在，故猜想：四面体的中位线三角形也存在。

陈九章

陈九章

这只要用功能强大的符号运算软件验证一下即可。
手工运算较繁。也没有找到简捷的解题方法。

数学星空

(三组对棱和相等的)任意四面体的三条中线可构成三角形．

\(4d_1^2=-a^2-x_1^2+b^2+y_1^2+c^2+z_1^2\)

\(4d_2^2=a^2+x_1^2-b^2-y_1^2+c^2+z_1^2\)

\(4d_3^2=a^2+x_1^2+b^2+y_1^2-c^2-z_1^2\)

只需要证明：\(16s^2=2d_1^2 d_2^2+2d_1^2 d_3^2+2d_3^2 d_2^2-d_1^4-d_2^4-d_3^4 \gt 0\)

做代换：\(a=y+z,b=x+z,c=x+y,x_1=x+w,y_1=y+w,z_1=z+w\)后右边必得关于`x,y,z,w`的一轮换对称多项式
为了简化表达，以下用`\langle\rangle`表示取遍轮换求和，比如`\langle x^4\rangle:=x^4+y^4+z^4+w^4`.

最终只需证明： `3\langle x^4\rangle+4\langle x^3y\rangle+28\langle x^2yz\rangle-14\langle x^2y^2\rangle\gt0`

这很容易用bottema 证明成立。

倪举鹏

三个蓝线构成看看

陈九章

陈九章

今天上午第3节课，我听了hys成章中学名师刘jh老师的一节示范课《余角与补角》，
刘老师特别强调一种数学思想：类比。
我这个猜想就是用类比法得到的。