变分法和“两点之间，线段最短”

manthanein

先发一篇论文。

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现在我好奇的是，以上证明仅仅针对二维情形，能不能扩展到更高维的欧几里得空间？

这个空间里，点的坐标表现为：
\((x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})\)
直线的参数方程表现为：
\(x_{1}=a_{1}+b_{1}t\)
\(x_{2}=a_{2}+b_{2}t\)
\(x_{3}=a_{3}+b_{3}t\)
……
\(x_{n}=a_{n}+b_{n}t\)
t为参数

manthanein

很想知道答案、

BeerRabbit

高维度里面的讨论用的是微分几何的语言（当然，推导过程用的仍然是变分法，只不过换个表达更好看而已），你可以查一下 “测地线” 这个东西。

hujunhua

哪本书上的，这个能看作严格的证明？严格的循环论证嘛。

manthanein

hujunhua 发表于 2015-12-18 15:00
哪本书上的，这个能看作严格的证明？严格的循环论证嘛。

当然，以后来的概念证明原始的概念肯定有问题。这是一篇论文，标题叫《变分在初等几何中的应用两例》

manthanein

BeerRabbit 发表于 2015-12-18 14:18
高维度里面的讨论用的是微分几何的语言（当然，推导过程用的仍然是变分法，只不过换个表达更好看而已），你 ...

测地线我听说过，不过我不清楚更高维的欧几里得空间里测地线是否仍然是线段。

manthanein

因为有些曲线不能在平面上表现出来，最简单的例子是螺旋线。