特殊的三角函数方程组

数学星空

假设\(t_1,t_2,\ldots,t_n \in (0,\frac{2\pi}{3}]\)且满足下列方程组，求解下列参数\(t_1,t_2,\ldots,t_n, n\in\rm I\!N^+\)

\(\sin(t_1)-\sin(t_2+t_3)+\sin(t_4)=m\)..........................................(1)

\(\sin(t_2)-\sin(t_3+t_4)+\sin(t_5)=m\)..........................................(2)

\(\sin(t_3)-\sin(t_4+t_5)+\sin(t_6)=m\)..........................................(3)

\(.......................................................................\)

\(\sin(t_{n})-\sin(t_1+t_2)+\sin(t_3)=m\)......................(n)

\(t_1+t_2+\ldots+t_n=2\pi\).............................................................(n+1)

数学星空

当\(n=3\)时，\(t_1=t_2=t_3=\frac{2\pi}{3},m=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

当\(n=4\)时，\(t_1=t_3=\alpha,t_2=t_4=\pi-\alpha\)

mathe

n条方程你写错了吧？应该是循环对称？
是用于求什么极值的？

数学星空

本题来源于<一般折线几何学＞Ｐ141~142　凸Ｎ边形中的费马问题：

设\(X\)为凸Ｎ边形\(A_1A_2...A_n\)内任一点，记\(\angle A_1XA_2=\alpha_1,\angle A_2XA_3=\alpha_2 \ldots \angle A_nXA_1=\alpha_n\)

定理4.23：设\(A_1A_2...A_n\)为凸\(n\)边形，如果存在一点X_0,满足条件\(\frac{p_i}{\sin(\alpha_{i-1})-\sin(\alpha_i+\alpha_{i+1})+\sin(\alpha_{i+2})}=M(常数)\),\(i=1,2\ldots,n\),\(\alpha_{n+1}=\alpha_1,\alpha_{n+2}=\alpha_2\)，那么X_0就是凸Ｎ边形上的加权费马点：

\(p_1A_1X_0+p_2A_2X_0+\ldots+p_nA_nX_0=\min (p_1A_1X+p_2A_2X+\ldots+p_nA_nX)\),

我主要想说的是：

本主题除了平凡解\(t_1=t_2=\ldots=t_n=\frac{2\pi}{n}, m=2\sin(\frac{2\pi}{n})-\sin(\frac{4\pi}{n})\)外，其它非平凡解是否存在，如何求解？