丢番图方程

medie2005

呵呵，我也发一个丢番图方程耍耍。
求满足:
${(a^{2}+b^{2}=c^2),(a^{2}+N*b^{2}=d^2):}$
其中，$max(a,b,c,d)<10^12$,a,b互素。
的所有五元组(a,b,c,d,N)。

medie2005

比如，(3,4,5,11,7):
3^2 + 4^2 == 5^2
3^2 + 7*4^2 == 11^2

(35,12,37,53,11):
35^2 + 12^2 == 37^2
35^2 + 11*12^2 == 53^2

medie2005

(15,8,17,81,99):
15^2 + 8^2 == 17^2
15^2 + 99*8^2 == 81^2

(1121,1560,1921,6529,17):
1121^2 + 1560^2 == 1921^2
1121^2 + 17*1560^2 == 6529^2

35^2 + 12^2 == 37^2
35^2 + 71*12^2 == 107^2

575^2 + 48^2 == 577^2
575^2 + 71*48^2 == 703^2

2701^2 + 1980^2 == 3349^2
2701^2 + 71*1980^2 == 16901^2

2701^2 + 1980^2 == 3349^2
2701^2 + 71*1980^2 == 16901^2

141229^2 + 22620^2 == 143029^2
141229^2 + 71*22620^2 == 237221^2

medie2005

3715509819^2 + 112779700^2 == 3717221069^2
3715509819^2 + 79*112779700^2 == 3848354819^2

mathe

这个好像不难呀

无心人

自由度有点大哦

medie2005

呵呵，那就请mathe解决它吧。

mathe

问题在于解的总数目太多了.
如果允许N=1,那么光N=1,c=d情况的解就已经够多的了.
即使要求N>1,同样,对于每个满足第一条方程的解(a,b,c)我们可以构造很多(d,N)满足条件,唯一问题是d是否在指定范围之内.

medie2005

那就改成N为素数吧。

mathe

还是应该不少.
先谈一些思路吧.
对于第一条方程加上(a,b)=1的条件相当于存在自然数u,v使得$c=u^2+v^2$
而其中$a=2uv,b=u^2-v^2$或$a=u^2-v^2,b=2uv$
然后两式相减可以得到$(N-1)b^2=(d-c)(d+c)=h*(2c+h)$ (假设h=d-c)
也就是我们需要对于每个给定的(u,v)数对,分别求h使得$4u^2v^2|h*(2u^2+2v^2+h)$或$u^4-2u^2v^2+v^4|h*(2u^2+2v^2+h)$,而且$u^2+v^2+h<10^12$