丢番图方程

medie2005

呵呵，我也发一个丢番图方程耍耍。 求满足: ${(a^{2}+b^{2}=c^2),(a^{2}+N*b^{2}=d^2):}$ 其中，$max(a,b,c,d)<10^12$,a,b互素。 的所有五元组(a,b,c,d,N)。

medie2005

比如，(3,4,5,11,7): 3^2 + 4^2 == 5^2 3^2 + 7*4^2 == 11^2 (35,12,37,53,11): 35^2 + 12^2 == 37^2 35^2 + 11*12^2 == 53^2

medie2005

(15,8,17,81,99): 15^2 + 8^2 == 17^2 15^2 + 99*8^2 == 81^2 (1121,1560,1921,6529,17): 1121^2 + 1560^2 == 1921^2 1121^2 + 17*1560^2 == 6529^2 35^2 + 12^2 == 37^2 35^2 + 71*12^2 == 107^2 575^2 + 48^2 == 577^2 575^2 + 71*48^2 == 703^2 2701^2 + 1980^2 == 3349^2 2701^2 + 71*1980^2 == 16901^2 2701^2 + 1980^2 == 3349^2 2701^2 + 71*1980^2 == 16901^2 141229^2 + 22620^2 == 143029^2 141229^2 + 71*22620^2 == 237221^2

medie2005

3715509819^2 + 112779700^2 == 3717221069^2 3715509819^2 + 79*112779700^2 == 3848354819^2

mathe

这个好像不难呀

无心人

自由度有点大哦

medie2005

呵呵，那就请mathe解决它吧。

mathe

问题在于解的总数目太多了. 如果允许N=1,那么光N=1,c=d情况的解就已经够多的了. 即使要求N>1,同样,对于每个满足第一条方程的解(a,b,c)我们可以构造很多(d,N)满足条件,唯一问题是d是否在指定范围之内.

medie2005

那就改成N为素数吧。

mathe

还是应该不少. 先谈一些思路吧. 对于第一条方程加上(a,b)=1的条件相当于存在自然数u,v使得$c=u^2+v^2$ 而其中$a=2uv,b=u^2-v^2$或$a=u^2-v^2,b=2uv$ 然后两式相减可以得到$(N-1)b^2=(d-c)(d+c)=h*(2c+h)$ (假设h=d-c) 也就是我们需要对于每个给定的(u,v)数对,分别求h使得$4u^2v^2|h*(2u^2+2v^2+h)$或$u^4-2u^2v^2+v^4|h*(2u^2+2v^2+h)$,而且$u^2+v^2+h<10^12$