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楼主: medie2005

[讨论] 丢番图方程

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发表于 2008-11-5 09:42:07 | 显示全部楼层
而上面给定(u,v)的情况下,计算h相当于解一个二次剩余,问题不大.
所以主要问题在于(u,v)给定的候选有点多.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-11-5 09:54:13 | 显示全部楼层
也可以通过对b进行穷举,不过问题规模还是类似
我们可以先对方程2进行分析得到
$2d="N"u^2+v^2,+-2a="N"u^2-v^2,b=uv$
其中u,v为待定系数.
然后根据方程1,如果b为偶数,我们可以写成$b=2st,a=s^2-t^2$,如果b为奇数(这时a比如偶数),可以写成$b=s^2-t^2=(s-t)(s+t),a=2st$
也就是两条方程分别使用了b的两种不同的因子分解方法.
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 楼主| 发表于 2008-11-5 13:34:59 | 显示全部楼层
若N为素数,则对a=3,b=4.
仅仅有解:
(3,4,5,11,7)
对a=9,b=40.
仅有两解:
(9,40,41,809,409)
(9,40,41,791,391)
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发表于 2008-11-5 13:50:25 | 显示全部楼层
对于给定的(a,b)组合,解显然不多。不过(a,b)组合多了一点。也许多花点时间是能够穷举完的。
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发表于 2008-11-9 21:06:44 | 显示全部楼层
下面这个如何:求不同的奇数a,b,c,d使得
$ab=cd$而且
$2(a^2-b^2)(a-b)^2=c^4-d^4$
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发表于 2018-7-31 18:19:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2018-7-31 19:53 编辑

Euler’s Concordant Forms
In 1780, Euler asked for a classification of those pairs of distinct nonzero integers
\(M\) and \(N\) for which there are integer solutions \((x, y, z, t)\) with \(xy = 0\) to
\[x^2+My^2=t^2\\
x^{2}+Ny^{2}=z^2\]
[Titu_Andreescu, Dorin_Andrica] Quadratic_Diophantine Equations
Concordant Form
A concordant form is an integer triple \(a,b,N\) where
\[a^2+b^2=c^2\\
a^{2}+Nb^{2}=d^2\]
http://mathworld.wolfram.com/ConcordantForm.html
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