满足条件的函数

manthanein

给定函数\(y=f(x)\)。这个函数在定义域上存在某一点\(x=a\)，使得在这一点的任意阶导数都存在，且都为0，而且函数自身也有\(f(a)=0\)。
这样的函数是否只能是\(y=0\)？

manthanein

限定一下函数的范围：定义域为\([0,+\infty)\)，在定义域上处处可导。

mathe

$exp(-1/{(x-a)^2})$

kastin

不一定。存在某一点\(x=a\)，使得在这一点的任意阶导数都存在，且都为0，而且函数自身也有\(f(a)=0\)，说明该点临域内是0，即常数函数。但是超过一定范围(比如临域半径大于等于1)就不一定了，因为在这些点的值是一个无穷级数求和（马克劳林级数），因为这些点处有定义，即值有穷（收敛）。所以，收敛要么是交错级数，即要求函数在其他非零点处也存在无穷阶导数，且是符号交替且导函数值是有界（至少增长不快于阶乘量级）；要么无穷级数收缩为有限项求和，即要求超过给定大于1的正整数n之后的高阶导数全为零，且一阶导数等于零。

以上面的第二种情况举出反例——在`[0,1)`上，`f(x)=0`，在`[1,+\infty)`上`f(x)=x^2-2x`.

因为上面提到的反例都是在定义域内存在无穷阶导数，那么我很好奇下面两个问题的答案：
1. 是否存在这样的反例，使得函数满足1楼中的条件，但是在其他所有点处只有有限阶导数存在。
2. 是否存在这样的反例，使得函数满足1楼中的条件，但是在其他部分点(可以是无穷多个也可以是有限个)处只有有限阶导数存在。

wayne

kastin 发表于 2016-3-15 21:03
不一定。存在某一点\(x=a\)，使得在这一点的任意阶导数都存在，且都为0，而且函数自身也有\(f(a)=0\)，说明 ...

$f(x) =\tan(x)\e^{-1/x^2}$好像满足你第2问的条件，

manthanein

mathe 发表于 2016-3-15 20:29
$exp(-1/{(x-a)^2})$

果然是大神啊，我用几何画板实验了一下，补充定义后居然完全符合

manthanein

从这里也可以看见数学的奇妙

wayne

Mathematica画图发现， $f(x) =\sin(x)\e^{-1/x^2}$好像在某些点并不是任意阶的可导。
如下图，f(x)的十阶导数会在x=0.280874处激增。

manthanein

wayne 发表于 2016-3-16 21:38
Mathematica画图发现， $f(x) =\sin(x)\e^{-1/x^2}$好像在某些点并不是任意阶的可导。
如下图，f(x)的十阶 ...

不过我的条件只要在一个点任意阶可导就行了。其他的点只要可导即可。

mathematica

这种函数太多了,
当x的绝对值小于2的时候,y=0
当x的绝对值>=2的时候,y取任意函数,

这是分段函数,所以函数太多了