满足条件的函数

Buffalo

wayne 发表于 2016-3-16 21:38
Mathematica画图发现， $f(x) =\sin(x)\e^{-1/x^2}$好像在某些点并不是任意阶的可导。
如下图，f(x)的十阶 ...

导数数值大不是很正常的吗，$f(x)=exp(-\frac{1}{x^2})$，在原点附近作泰勒展开，$f(x)=\frac{f^{(n)}(\ksi)}{n!}x^n$，所以对任意$x$存在$\ksi$使得$f^{(n)}(\ksi)=\frac{n!}{x^n}e^{-\frac{1}{x^2}}$，最大的$f^{(n)}(\ksi) \ge n! (\frac{n}{2})^{n/2}e^{-n/2}$，这个差不多是$n!*(n/2)!$

manthanein

最后再来讨论一个问题：mathe给出的函数是否在非负实数范围上任意一点n阶可导？
我猜想是的，但不会证明。

manthanein

https://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function

里面提到了smooth transition function，似乎与我的问题类似