球碰撞问题

wayne · 发表于 2016-3-23 18:04:22

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在光滑水平面上，有一个大球向墙运动，速度垂直于墙面，大球和墙之间的连线上停着另一个小球。假设球与球，球与墙之间的碰撞均为完全弹性的，且均可以视为理想的质点。

问：如果大小球的质量比是N，那么小球与大球的能碰撞多少次？

aimisiyou · 发表于 2016-3-23 19:57:02

物理题么？两球密度一样吧。

zeroieme · 发表于 2016-3-23 20:00:07

小球与墙的距离？

mathe · 发表于 2016-3-23 21:18:44

距离显然无关，速度转化是线性的

mathe · 发表于 2016-3-23 21:24:17

假设两者开始速度u,v,碰撞后速度u',v',能量守恒有N(u^2-u'^2)=-(v^2-v'^2)。动量守恒有N(u-u')=-(v-v')。相除得u+u'=v+v'。

mathe · 发表于 2016-3-23 21:30:00

u'=(N-1)/(N+1)*u+2/(N+1)*v. v'=2N/(N+1)*u-(N-1)/(N+1)*v.而墙壁让v'再变号

mathe · 发表于 2016-3-23 21:34:46

于是看矩阵[N-1,2;-2N,N-1]^k求第一个k使得结果矩阵左下角不小于0

zeroieme · 发表于 2016-3-23 21:54:42

mathe 发表于 2016-3-23 21:18
距离显然无关，速度转化是线性的

有关，小球小于$(sqrt(2)-1)r$而靠在墙脚的话，就碰不上了

mathe · 发表于 2016-3-23 21:55:16

利用特征值(N-1)+I*sqrt(4N)应该有结果为floor(pi/特征值幅角).
这是因为通项为两个共枙复数和，即这个复数实部两倍。而复数幅角每项正好转动特征值幅角。初始项0代表幅角pi/2,每次逆时针转，要求转到不小于3*pi/2

mathe · 发表于 2016-3-23 22:01:07

这里是理论模型，显然忽略小球尺寸问题

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