和三角式有关的取值范围问题

manthanein

wolframalpha给出的结果
k=2
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manthanein

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manthanein

k=3
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利用mathe给出的最大值数据和对应的k作了一个图，发现排列出奇地整齐，好像是指数函数

manthanein

指数函数拟合

manthanein

y=a*b^x
a: 2.119438119839444
b: 0.6448741263625036
拟合误差平方和：0.15

manthanein

我推测出了如下公式
\(\displaystyle e^{3/4} \* {\sqrt{3/7}}^{k}\)

manthanein

最大值始终大于
\(\displaystyle e^{3/4} \* {\sqrt{3/7}}^{k}-e^{-1/4}\)

happysxyf

manthanein 发表于 2016-5-15 20:49
最大值始终大于
\(\displaystyle e^{3/4} \* {\sqrt{3/7}}^{k}-e^{-1/4}\)

当n=24时,mathematic计算

1. FindMaxValue[
   
2. Sin[x] Sin[2 x] Sin[3 x] Sin[4 x] Sin[5 x] Sin[6 x] Sin[7 x] Sin[
   
3.    8 x] Sin[9 x] Sin[10 x] Sin[11 x] Sin[12 x] Sin[13 x] Sin[
   
4.    14 x] Sin[15 x] Sin[16 x] Sin[17 x] Sin[18 x] Sin[19 x] Sin[
   
5.    20 x] Sin[21 x] Sin[22 x] Sin[23 x] Sin[24 x], {x}]

复制代码

得出最大值是2.56411*10^-6
最小值是-3.07377*10^-7
用你的指数拟合,(e^0.75)*((3/7)^12)-e^(-1/4)计算

1. i/shell "(e^0.75)*((3/7)^(24/2))-e^(-1/4)"
   
2. =-0.778719500123

复制代码

你的公式在k很大时都是负值,所以最大值肯定大于负值,如果你说的是绝对值那最大值也是小于0.7787...
如果用"(e^0.75)*((3/7)^(k/2))"计算得出 8.1282946*10^-5,依然是最大值小于这个数.
因此我觉得,后段拟合过大,应改为
\(\displaystyle 2.418398 \* {π}^{-k/2}\)
可能后部还差点.总之肯定是圆周率和e的指数混合形式.快接近答案了.

manthanein

happysxyf 发表于 2016-5-16 11:51
当n=24时,mathematic计算
得出最大值是2.56411*10^-6
最小值是-3.07377*10^-7

谢谢你的帮助。我准备根据你的猜测重新得出一个近似式。