和三角式有关的取值范围问题

manthanein

这个估计好一些：
\(\pi^{-\frac{k}{2}}\cdot (\sqrt{\frac{5}{1723}}k^{2}+\sqrt{\frac{5}{81}}k+\sqrt{\frac{9}{2}})\cdot e^{\frac{2}{29}}\)
算出来的值偏大

happysxyf

manthanein 发表于 2016-5-17 20:52
这个估计好一些：
\(\pi^{-\frac{k}{2}}\cdot (\sqrt{\frac{5}{1723}}k^{2}+\sqrt{\frac{5}{81}}k+\sqrt{\ ...

\(\displaystyle  {π}^{-k/2}\*{\sin(k/2)}\)
基本可以拟合偏离x轴的最大距离
但k=40时，mathematic计算的最大值、最小值都是负的，也就是说mathematic的退火计算方法是错误的。后边的最值不能再靠软件算了，得解那个cotkx的和式。软件算的最值不太靠谱，后边的都溢出为负。
我又尝试其他五种软件，计算的最值都不一样，可见软件的算法太死板，它只是设定的程序在算，很不灵活，最后我只能靠作图软件量坐标值，得出可能是sin的浮动，总之随着k的增大软件算不出准确的最值，只能靠量坐标。圆周率加sin浮动。

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改进

或者[sinθ+sin2θ+sin3θ+sin4θ+sin5θ+sin6θ+sin7θ+...+sinkθ]^k=[sin(kθ)sin(kθ+θ)/sin(θ/2)]^k
这里边包含了k^k个sin连乘积，所以最值大体的数量级应该在[sin(kθ)sin(kθ+θ)/sin(θ/2)/k]^k范围内
这个式子最终化为{[cos(2kθ+θ)-cosθ]/2k}^k
可以估计出Π(sinkθ)的取值在\(\displaystyle  {2}^{-k}\*k\)
用mathematic验证数量级吻合的非常对

这个\(\displaystyle  {2}^{-k}\*k\)拟合的非常好，k越大越精确，前面当k=2时可能差点，但绝对是纯数学推导，应该是符合其客观规律的。

lsr314

$n$不是4的倍数时，f(x)的最大值和最小值互为相反数。
证明：对任意整数k和实数t有$sin(-kt)=-sin(kt),sin(kpi-kt)=(-1)^(k+1)sin(kt)$
1.n是奇数时，$f(-t)=sin(-t)sin(-2t)\cdotssin(-nt)=-f(t)$
2.n=2(mod 4)时，$f(pi-t)=sin(pi-t)sin(2pi-2t)\cdotssin(npi-nt)=-f(t)$
所以，以上两种情况最大值和最小值互为相反数。

lsr314

当n=4时，f(x)在$[0,pi/2)$内有2个极大值，2个极小值，依次是$y_1=0,y_2=0.376564,y_3=-0.146633,y_4=0.312949.$
由于f(x)在其他区间的函数图象可以通过$[0,pi/2)$上的图象对称得到，所以f(x)的最大值是$y_2$,最小值是$y_3$.
$y_2,y_3,y_4$满足方程$864 + 837 y - 27144 y^2 + 50000 y^3=0$

lsr314

根据22#的提示，可以得到一个估计（以下假设n>2）：
由于$f(0)=f(pi/n)=0,$且$x\in (0,pi/(2n))$时,$sin(kx)$是递增的，所以f(x)的在x>0时的第一个极大值在$x\in(pi/(2n),pi/n)$之间取得。
我们假设已经证明这个极大值就是最大值，并且此时$x=t<\pi/n$.
令$S(t)=sin(t)+\cdots+sin(nt)$,则$S(t)=1/sin(t/2)sin((nt)/2)sin((n+1)t/2)\leq|1/sin(t/2)|<2/t+t/10.$
最后一步用到了$x\in (0,1)$时,$1/sin(x)<1/x+x/5.$
$f(t)^(1/n)\leq 1/nS(t)\leq 2/(nt)+t/(10n)=2/(nt)(1+t^2/(20))$
$f(t)<(2/(nt))^n(1+nt^2/20)<(2/(nt))^n(1+\pi^2/(20n))<3/2(2/(nt))^n$
如果我们能证明$t>2/n$则我们就得到了一个f(x)的上限。数值计算的结果是当n>2时，都有nt>2,并且nt是关于n递增的。

happysxyf

经作图验证，9#数据完全准确，我又测量到24，如果只看最大值，最大值和斐波那契数列拉上关系了.
当k>5以后
f(k)的数量级接近 sqrt(5)/Fibnacci(k)
最大值数列接近兔子数列的比值

lsr314

如果只考虑不在x轴上的极值点，那么在$x\in (0,pi/n)$内恰好有$d=\sum_{k=1}^n\phi(k)$个$f(x)!=0$的极值点。
极大值的次数是d/2,即最大值和最小值都是次数为d/2的代数数。

manthanein

既然考虑数学推导，我也试一下：
设\(f(x)=\displaystyle \prod_{k=1}^{x} \sin{k\theta}\)，由此：
\(\displaystyle \frac{f(x)}{f(x-1)}=\sin{x\theta}\)
\(\displaystyle \frac{\abs{f(x)}}{\abs{f(x-1)}}=\abs{\sin{x\theta}}\)
显然式子中没有一项为0，取自然对数，
\(\ln{\abs{f(x)}}-\ln{\abs{f(x-1)}}=\ln{\abs{\sin{x\theta}}}\)
记\(g(x)=\ln{\abs{f(x)}}\)，
\(g(x)-g(x-1)=\ln{\abs{\sin{x\theta}}}\)
应用拉格朗日中值定理，
\(g'(\xi)=\ln{\abs{\sin{x\theta}}}\)
下面我想用积分近似。

manthanein

happysxyf 发表于 2016-5-18 21:33
经作图验证，9#数据完全准确，我又测量到24，如果只看最大值，最大值和斐波那契数列拉上关系了.
当k>5以后 ...

如果这样，公式应该是：
\(\D \frac{5}{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}-(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}}\)

manthanein

happysxyf 发表于 2016-5-18 09:46
\(\displaystyle  {π}^{-k/2}\*{\sin(k/2)}\)
基本可以拟合偏离x轴的最大距离
但k=40时，mathematic ...

拟合：
\(2^{-k} \cdot k \cdot (\sqrt{\frac{10}{3063}}k^{2}-{k \cdot e^{-\frac{6}{11}}}+\sqrt{\frac{81}{10}}) \cdot e^{\frac{12}{53}}\)