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[原创] 《幸运卡牌大收集》游戏回到原始状态的概率

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发表于 2016-11-20 13:36:05 | 显示全部楼层 |阅读模式

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《幸运卡牌大收集》游戏:

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规则如下:

————————————————————

每在线$30$分钟可以获得$1$张幸运卡牌;

获得任意$1$张幸运卡牌的概率都是相等的;

集齐全套卡牌可以兑换奖励;

成功兑换奖励之后,每种卡牌的数量减$1$。

————————————————————

假设玩家一直在线,并且集齐一套卡牌就立即兑换奖励。

问题$1$:给定卡牌的种类数$n$,求在有限时间内卡牌能回到全$0$状态的概率$p(n)$。

(也就是说,卡牌永远不能回到全$0$状态的概率是$(1-p(n))$)。

#####

经程序模拟,当$n\leq 3$时,$p(n)=1$。

不知道对于更大的$n$,结果是怎么样的。

#####

由于玩家之间每天可以相互索要和赠送$1$张卡牌,

也就是每收集$\frac{1\ \text{day}}{30min}  = 48$张卡牌,

就可以索要$1$张卡牌,并送出$1$张卡牌。

问题$2$:假设每收集$f(n)$张卡牌就可以索要和赠送$1$张卡牌,问$f(n)$要取什么值才有$p(n)=1$?
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-8-19 21:43:32 | 显示全部楼层
参考文献:

https://zhidao.baidu.com/question/371117901.html

上述参考文献摘录如下:

假设有一条水平直线,从某个位置出发,每次有$50%$的概率向左走$1$米,有$50%$的概率向右走$1$米。

按照这种方式无限地随机游走下去,最终能回到出发点的概率是多少?答案是$100%$。

在一维随机游走过程中,只要时间足够长,我们最终总能回到出发点。

现在考虑一个喝醉的酒鬼,他在街道上随机游走。

假设整个城市的街道呈网格状分布,酒鬼每走到一个十字路口,都会概率均等地选择一条路(包括自己来时的那条路)继续走下去。

那么他最终能够回到出发点的概率是多少呢?答案也还是$100%$。

刚开始,这个醉鬼可能会越走越远,但最后他总能找到回家路。

不过,醉酒的小鸟就没有这么幸运了。

假如一只小鸟飞行时,每次都从上、下、左、右、前、后中概率均等地选择一个方向,那么它很有可能永远也回不到出发点了。

事实上,在三维网格中随机游走,最终能回到出发点的概率只有大约$34%$。

这个定理是著名数学家波利亚(George Pólya)在$1921$年证明的。

随着维度的增加,回到出发点的概率将变得越来越低。

在四维网格中随机游走,最终能回到出发点的概率是$19.3%$,

而在八维空间中,这个概率只有$7.3%$。
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 楼主| 发表于 2021-2-17 01:11:46 | 显示全部楼层
程序模拟的结果如下:

问题$1$:

当$n\leq 3$时,结果是$p(n)=1$;

当$n\geq 4$时,结果是$p(n)<1$,且$p(n)$随着$n$的增大呈指数级递减,最终收敛到$0$。

问题$2$:

对于任意的正整数$n$,只要以固定的频率索要或送出$1$张卡牌,则无论时间间隔$f(n)$有多大,都有$p(n)=1$。

#####

所以接下来可以继续探索的问题是:

当$n\geq 4$时,

$1$、若不索要或送出卡牌,则当$n=4,5,6...$时,$p(n)$的值分别是多少?

$2$、当收集到第$c$、$4c$、$9c$、$16c$、$25c$、……、$k^2c$、……($k=1,2,3...$,$c$是一个常数)张卡牌时,就可以索要(和/或)送出一张卡牌,则$c$取何值时有$p(n)=1$?
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