《幸运卡牌大收集》游戏回到原始状态的概率

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《幸运卡牌大收集》游戏：



规则如下：

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每在线$30$分钟可以获得$1$张幸运卡牌；

获得任意$1$张幸运卡牌的概率都是相等的；

集齐全套卡牌可以兑换奖励；

成功兑换奖励之后，每种卡牌的数量减$1$。

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假设玩家一直在线，并且集齐一套卡牌就立即兑换奖励。

问题$1$：给定卡牌的种类数$n$，求在有限时间内卡牌能回到全$0$状态的概率$p(n)$。

（也就是说，卡牌永远不能回到全$0$状态的概率是$(1-p(n))$）。

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经程序模拟，当$n\leq 3$时，$p(n)=1$。

不知道对于更大的$n$，结果是怎么样的。

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由于玩家之间每天可以相互索要和赠送$1$张卡牌，

也就是每收集$\frac{1\ \text{day}}{30min}  = 48$张卡牌，

就可以索要$1$张卡牌，并送出$1$张卡牌。

问题$2$：假设每收集$f(n)$张卡牌就可以索要和赠送$1$张卡牌，问$f(n)$要取什么值才有$p(n)=1$？

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参考文献：

https://zhidao.baidu.com/question/371117901.html

上述参考文献摘录如下：

假设有一条水平直线，从某个位置出发，每次有$50%$的概率向左走$1$米，有$50%$的概率向右走$1$米。

按照这种方式无限地随机游走下去，最终能回到出发点的概率是多少？答案是$100%$。

在一维随机游走过程中，只要时间足够长，我们最终总能回到出发点。

现在考虑一个喝醉的酒鬼，他在街道上随机游走。

假设整个城市的街道呈网格状分布，酒鬼每走到一个十字路口，都会概率均等地选择一条路（包括自己来时的那条路）继续走下去。

那么他最终能够回到出发点的概率是多少呢？答案也还是$100%$。

刚开始，这个醉鬼可能会越走越远，但最后他总能找到回家路。

不过，醉酒的小鸟就没有这么幸运了。

假如一只小鸟飞行时，每次都从上、下、左、右、前、后中概率均等地选择一个方向，那么它很有可能永远也回不到出发点了。

事实上，在三维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率只有大约$34%$。

这个定理是著名数学家波利亚（George Pólya）在$1921$年证明的。

随着维度的增加，回到出发点的概率将变得越来越低。

在四维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率是$19.3%$，

而在八维空间中，这个概率只有$7.3%$。

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程序模拟的结果如下：

问题$1$：

当$n\leq 3$时，结果是$p(n)=1$；

当$n\geq 4$时，结果是$p(n)<1$，且$p(n)$随着$n$的增大呈指数级递减，最终收敛到$0$。

问题$2$：

对于任意的正整数$n$，只要以固定的频率索要或送出$1$张卡牌，则无论时间间隔$f(n)$有多大，都有$p(n)=1$。

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所以接下来可以继续探索的问题是：

当$n\geq 4$时，

$1$、若不索要或送出卡牌，则当$n=4,5,6...$时，$p(n)$的值分别是多少？

$2$、当收集到第$c$、$4c$、$9c$、$16c$、$25c$、……、$k^2c$、……（$k=1,2,3...$，$c$是一个常数）张卡牌时，就可以索要(和/或)送出一张卡牌，则$c$取何值时有$p(n)=1$？