数论问题，证明一个梅腾斯公式的推广

白新岭

TSC999 发表于 2016-11-24 19:43
主帖中的那个复杂公式可以写成下面这样容易理解的形式：
\(  \displaystyle \lim_{x \to \infty} \lbrace  ...

我实际计算了，n=3和n=4的情况，其值出入较大，不知道错在那里了。我的方法是把ln(x)用连乘积代替∏(P/(P-1)),把素数2，和3单独摘除来处理，当P大于等于5时，与后边的连乘积配对，用vfp程序计算到10亿多的位置。
n=3时，其值为：17.1494915657138
n=4时，其值为：24.9070851662106
寻找问题原因？

白新岭

TSC999 发表于 2016-12-1 06:15
因此就有：
\(   \displaystyle \prod_{p>n}^{p≤ x} (1-\frac{n}{p}) =\prod_{p>n}^{p≤ x}\frac{p-n}{p ...

在数学中国中，独木星空谁就是我---白新岭，实际计算一下，n=3和n=4的情况，看一看它们的值与公式所给的值，相符还是不相符。

白新岭

即计算∏\({P^2-4P+3}\over{P^2-4P}\)的值，P≥5，为素数，趋于无穷大时，的极限值。

TSC999

你那个原始式子的理论表达式如下：

mathe

网上没有发现相关的结论，我觉得主要原因在于表达式太复杂了。这个结论可以看成两部分组合，第一部分是左边的极限存在的证明，这部分在n=1成立的前提下不算困难；第二部分是极限的表达形式，但是由于右边的表达形式是在过于复杂，相对来说，作用就不会太大。

白新岭

TSC999 发表于 2021-8-27 07:56
你那个原始式子的理论表达式如下：

γ        -0.577215665        0.561459483567746
n=3        17.14949157        3.035334195
n=4        24.90708517        2.475121902
在21#天山草先生的提示下，找到了问题原因。我那个主题，有个楼层已有了它们之间的换算等式，后来光是蒙着，不查找自己的原因，到怀疑起天山草先生的梅腾斯公式推广了。惭愧！

白新岭

∏(1-\(1\over P\))=\(e^{-γ}\over{ln(x)}\)推出\({ln(x)}e^γ\)=∏\(P\over{P-1}\),  所以\(({P\over{P-1}})^n\)=\(({ln}(x)e^γ)^n\)=\({ln}^n(x)e^{nγ}\)，而最密三生素数的系数为：\({P^2(P-3)}\over(P-1)^3\)，当P≥5时，为此形式，对于素数2，\({2^2(2-1)}\over(2-1)^3\)=\({1\over 2}{2^3\over(2-1)^3}\),同样素数3，\({3^2(3-2)}\over(3-1)^3\)=\({1\over 3}{3^3\over(3-1)^3}\)，当素数P≥5后，\({P^2(P-3)}\over(P-1)^3\)=\({P^3\over(P-1)^3}{{P-3}\over P}\)=\(({P\over{P-1}})^3{(1-{3\over P})}\),把素数2,3的放进去：\(1\over 6\)∏\(({P\over{P-1}})^3{(1-{3\over P_i})}\)，\(P_i\)≥5. P≥2.

白新岭

\(C_3\)=\(1\over 6\)∏\(({P\over{P-1}})^3{(1-{3\over P_i})}\)，\(P_i\)≥5. P≥2. 把\(({P\over{P-1}})^3\)替换为\({ln}^3(x)e^{3γ}\)，则\(C_3\)=\(1\over 6\)\({ln}^3(x)e^{3γ}\)\({(1-{3\over P_i})}\)=\(1\over 6\)\(e^{3γ}{ln}^3(x)\)\({(1-{3\over P_i})}\)，此时已经看到n=3的情形，把后半部分用梅腾斯的推广公式代替。

白新岭

如果用\(T_3\)表示梅腾斯公式的推广值，则根据天山草的计算值为：3.03533，\(e^{3γ}\)=5.649951690116860
，其1/6为0.9416586150194770 ，它乘3.03533，最终得值：2.858244643927070 ，与我k生素数的数量公式中所给的\(C_3\)=2.858249176885160 ，相差不大。这与天山草，及我的系数精确度都有关联。从理论上它们的值应该一致（无论什么渠道获得）。所以每一个梅腾斯公式的推广中的n与k生素数的k形成一一对应关系。
用同样方法，求出的\(C_4\)也相差无几（都是有精确度引起，深层理论上完全吻合）。所以，天山草先生的梅腾斯公式的推广，解开k生素数数量公式中系数的新篇章。

白新岭

我把k生素数的数量公式中的系数，用恒等变形，表示成与梅腾斯公式的推广有关的式子，用到您给的值，求出了k生素数的数量公式中的系数，而且与我以前求出的值基本吻合。