数论问题，证明一个梅腾斯公式的推广

白新岭

∏(1-\(1\over P\))=\(e^{-γ}\over{ln(x)}\)推出\({ln(x)}e^γ\)=∏\(P\over{P-1}\),  所以\(({P\over{P-1}})^n\)=\(({ln}(x)e^γ)^n\)=\({ln}^n(x)e^{nγ}\)，而最密四生素数的系数为：\({P^3(P-4)}\over(P-1)^4\)，当P≥5时，为此形式，对于素数2，\({2^3(2-1)}\over(2-1)^4\)=\({1\over 2}{2^4\over(2-1)^4}\),同样素数3，\({3^3(3-2)}\over(3-1)^4\)=\({1\over 3}{3^4\over(3-1)^4}\)，当素数P≥5后，\({P^3(P-4)}\over(P-1)^4\)=\({P^4\over(P-1)^4}{{P-4}\over P}\)=\(({P\over{P-1}})^4{(1-{4\over P})}\),把素数2,3的放进去：\(1\over 6\)∏\(({P\over{P-1}})^4{(1-{4\over P_i})}\)，\(P_i\)≥5. P≥2.

白新岭

\(C_4\)=\(1\over 6\)∏\(({P\over{P-1}})^4{(1-{4\over P_i})}\)，\(P_i\)≥5. P≥2. 把\(({P\over{P-1}})^4\)替换为\({ln}^4(x)e^{4γ}\)，则\(C_4\)=\(1\over 6\)\({ln}^4(x)e^{4γ}\)\({(1-{4\over P_i})}\)=\(1\over 6\)\(e^{4γ}{ln}^4(x)\)\({(1-{4\over P_i})}\)，此时已经看到n=4的情形，把后半部分用梅腾斯的推广公式代替。

白新岭

\(C_4\)=\(1\over 6\)\(e^{4γ}{ln}^4(x)\)\({(1-{4\over P_i})}\)=\({1\over 6}e^{4γ}\)*梅腾斯推广公式的n=4的值，1.6771621863714700 *2.47512=4.1511776707317500 与我以前给的系数基本吻合。

白新岭

2021年8月28日周六19:30分
设f(m)=1-1/(P-m),证明f（m）=f（m-1）(1-1/(P-m)^2),m≥0.
当n=0时，f(0)=1-1/p
当n=1时，f(1)=1-1/（p-1），f（1）=f（0）*（1-1/（P-1）^2)=(1-1/P）*（1-1/（P-1）^2)=（P-1）/P*（（P-1）^2-1)/(P-1)^2=（（P-1）^2-1)/(P(P-1)
(P^2-2P)/(P^2-P)=(P-2)/(P-1)=(1-1/(P-1))与所给公式一致，假设n=k时，成立，则n=k+1时，f（k+1）=1-1/（P-k-1），
而f（k+1）=f（k）*（1-1/(P-k-1)^2)=(1-1/(P-k))(1-1/(P-k-1)^2)=(P-k-1)/(P-k)*((P-k-1)^2-1)/(P-k-1)^2=((P-k)^2-2(P-k))/(P-k-1)=(P-k)*(P-2k-2)/(P-k)/(P-k-1)
((P-2k-2)/(P-k-1)=(1-1/(P-k-1)),说明当n=k+1时，公式也成立。由数学归纳法，对于一切n值，递推公式皆成立。
这是把天山草先生的递推公式，有用数学归纳法证明了一回。

白新岭

利用天山草先生的结果，推出了k生素数的系数，k=3时，及k=4时，对于其他的k值都可以效仿。只要有梅腾斯公式的推广，其值有了，就可以用其值获得k生素数的系数

白新岭

n值        常数
2        0.819802446761417000
3        0.670891137176445000
4        0.840258827690047000

白新岭

TSC999 发表于 2016-12-23 20:30
前 100 个 \( c \) 系数的大致数值如下：

C1     0.6601618

n值        常数
2        0.819802446761417000
3        0.670891137176445000
4        0.840258827690047000
6        0.913696498927949000
7        0.882170421101332000
8        0.821858222440805000
如果，天山草先生有空把计算精度达到15位就好了，把素数P计算到10亿的位置就可以达到了（后边误差在18位精度上，有效数字15位是有保障的）。

白新岭

TSC999 发表于 2016-12-23 20:30
前 100 个 \( c \) 系数的大致数值如下：

C1     0.6601618

n值        常数
2        0.8198024467614170
3        0.6708911371764450
4        0.8402588276900470
6        0.9136964989279490
7        0.8821704211013320
8        0.8218582224408050
9        0.6728058758352150
10        0.8430124893896950
11        0.7021951679445290
12        0.9177718695843230
13        0.8868498480188450
14        0.8271250132350180

白新岭

n值        常数
\(C_{15}\)        0.6781131738061740
\(C_{16}\)        0.8513854007840780
\(C_{17}\)        0.7112251442524340
\(C_{18}\)        0.9336034327102970
\(C_{19}\)        0.9083474490046500
\(C_{20}\)        0.8571665659730140
\(C_{21}\)        0.7187089112867240
\(C_{22}\)        0.9500455911008540
\(C_{23}\)        0.9382492774747350
\(C_{24}\)        0.9201934432369970
\(C_{25}\)        0.8898283297453090
\(C_{26}\)        0.8307658474580030
\(C_{27}\)        0.6821664445538960
\(C_{28}\)        0.8586062036883280
\(C_{29}\)        0.7202795644250320
\(C_{30}\)        0.9528429983828730

qingjiao

楼主天山草先生：

请告知您的常用邮箱，有些资料给您看看，可发私信给我。

另外您在数学中国的“天山草”帐号是否已不能登陆？