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[原创] 计算残余球缺的体积,要求无误差理论表达式

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发表于 2016-12-3 21:23:59 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一个圆圆的西瓜,想切成相等的两半。用西瓜刀猛剁下去,槽糕!没有切准,切成了一半多一半少。
把少的那一块拿来再切,还是想切成相等的两半。谁知运气太差,还是切成了一半多一半少,如下图。求那块最小的体积。
要求给出完全精确的、没有任何误差的理论表达式哈。


残余球缺的体积.png
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-12-3 22:21:40 | 显示全部楼层
切片法,积分一下就得出来了,只不过被表达式应该很复杂(弓形面积的原因),因为被积函数的一部分是反三角函数与无理函数的复合函数,这部分可能不存在原函数。

点评

@TSC999,“原函数是存在的”你有答案?还是根据什么得知的?  发表于 2016-12-4 11:07
kastin 老师说得对,方法就是积分。过程确实很复杂,但原函数是存在的。  发表于 2016-12-4 07:19
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发表于 2016-12-4 14:37:08 | 显示全部楼层
我们来切切片积分玩玩。 不妨 水平的切,那么每一个切片是一个弓形,圆半径是$r$, 切片所在的平面 离球心的距离是$h$,则有$R^2 = r^2 +h^2$
那么, $\d V = (r^2 arccos(h_1/r)-h_1\sqrt{r^2-h_1^2}) \d h =((R^2-h^2) arccos(h_1/\sqrt{R^2-h^2})-h_1\sqrt{R^2-h^2-h_1^2}) \d h$

而这个用Mathematica是可以给出原函数的。
\(V(h) =-\frac{2}{3} h_1 h \sqrt{-h_1^2-h^2+R^2}-\frac{1}{3} h (h^2-3 R^2) \cos ^{-1}(\frac{h_1}{\sqrt{R^2-h^2}})-\frac{1}{3} h_1 (3 R^2-h_1^2) \tan ^{-1}(\frac{h}{\sqrt{-h_1^2-h^2+R^2}})+\frac{2}{3} R^3 \tan ^{-1}(\frac{h_1 h}{R \sqrt{-h_1^2-h^2+R^2}})\)

于是:
\(V = V(\sqrt{R^2-h_1^2}) - V(h_2)  \)
\(=\frac{\pi }{6}(R-h_1)^2 (2 R+h_1)+\frac{2h_1 h_2}{3}\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}-\frac{h_2}{3} (3 R^2-h_2^2) \cos ^{-1}(\frac{h_1}{\sqrt{R^2-h_2^2}})+\frac{h_1}{3}(3 R^2-h_1^2) \tan ^{-1}(\frac{h_2}{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}})-\frac{2R^3}{3}  \tan ^{-1}(\frac{h_1 h_2}{R \sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}})\)

点评

嗯嗯,是编辑失误。 :)  发表于 2016-12-4 20:43
dV表达式中间加号应该是减号?  发表于 2016-12-4 15:54
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发表于 2016-12-4 15:56:59 | 显示全部楼层
说实话,这种问题(包括那个圆环引力问题)不应该发在本版块,属于繁而不难的问题,似乎楼主自己懒不愿动手计算而已。
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 楼主| 发表于 2016-12-4 20:31:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2016-12-4 22:12 编辑

先跟 3# 楼的管理员先生 wayne 对一下答案。我的计算式(过程以后再说哈)如下:
\(   V=\frac{2}{3}h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}+\frac{2}{3}R^3\arctan \frac{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1h_2}- \frac{1}{3}h_2(3R^2-h_2^2)\arctan \frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1}-\frac{1}{3}h_1(3R^2-h_1^2)\arctan \frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}    \)
上式表面上跟 3# 的公式不一样,但是二者实质可能相同,需要代入同样的数据计算一下,看看结果是否相同。
假定 \( R=10,  h1=3,  h2=5  \),代入上式计算,结果是不一样的。我的公式可能不对,wayne 的公式应该没有问题。
我需要检查一下自己的计算过程。

点评

已经在3#更正  发表于 2016-12-4 21:22
你的答案是对的。我正负号搞反了。刚核实了答案是一致的  发表于 2016-12-4 21:21
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 楼主| 发表于 2016-12-4 22:15:47 | 显示全部楼层
现在计算结果完全相同了:
残余球缺的体积计算示例.png

点评

结果都弄成 V1 的四倍了,注意不是 V1 哈。  发表于 2016-12-6 10:08
V1 公式更简练和更对称一些。  发表于 2016-12-4 22:25
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发表于 2016-12-4 22:20:37 | 显示全部楼层
按理表达式对于$h_1, h_2$具有对称性。所以我的答案并不优美, 虽然可以花点功夫 转化成 对称形式。
楼主 有空 编辑一下你的解法吧。

点评

重新画图后再发上来吧。还得按照本论坛的要求写公式(本人刚刚入门一点儿)。  发表于 2016-12-5 08:40
谢谢 wayne 大师参与解答,使我坚信了我们的两个公式都是正确的。  发表于 2016-12-5 08:37
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 楼主| 发表于 2016-12-4 22:28:58 | 显示全部楼层
上面那个 V1 公式是多年前经过几个网友研究讨论的,我觉得可以将其收录到数学手册的体积计算公式当中。
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 楼主| 发表于 2016-12-6 06:41:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2016-12-6 09:57 编辑

        为了求出残余球缺体积的积分表达式,建立直角坐标系,画出剖视图  \( 2 \)。
图 2.png
        用一系列垂直于横轴、到坐标原点的距离为  \( x \) 的平面剖切残余球缺,切面形状如图 \( 2 \) 右面的弓形。弓形面积 \( S(x) \) 是距离 \( x \) 的函数。由图  \( 2 \) 可知,所求的体积 \( V \) 等于:
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~V=\displaystyle \int_{h_1}^{\sqrt{R^2-h_2^2}}S(x)dx          ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)   \)
        由图 \( 2 \) 可知,弓形面积 \( S(x) \) 等于扇形 \( OAB \) 的面积减去 \( △OAB \) 的面积,而扇形面积 \( S_1 \) 等于:
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S_1=(R^2-x^2)θ=(R^2-x^2) \arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}{h_2}}          ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)   \)
        \( △OAB \) 的面积 \( S_2 \) 等于:
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S_2=h_2 \sqrt{R^2-h_2^2-x^2}          ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)   \)
        弓形面积 \( S(x) \) 等于 \( S_1 \) 与 \( S_2 \) 之差:
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S(x)=(R^2-x^2) \arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}{h_2}}- h_2 \sqrt{R^2-h_2^2-x^2}        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)   \)
~~~~~~~~\( (4) \) 式代入 \( (1) \) 式得:
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~V=\displaystyle \int_{h_1}^{\sqrt{R^2-h_2^2}}[(R^2-x^2) \arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}{h_2}}- h_2 \sqrt{R^2-h_2^2-x^2}] dx=\\= \frac{1}{3}\{-2h_2x\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}+h_2(h_2^2-3R^2) \arctan{\frac{x}{\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}}+2R^3\arctan{\frac{h_2x}{R\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}}+x(3R^2-x^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}{h_2}}     \} \vert_{h_1}^\sqrt{R^2-h_2^2}=\\=\frac{1}{3}[0+h_2(h_2^2-3R^2)\frac{π}{2}+2R^3\frac{π}{2}+0]-\frac{1}{3}[-2h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}+h_2(h_2^2-3R^2)\arctan{\frac{h_1}{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}}+2R^3\arctan{\frac{h_1h_2}{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}}+h_1(3R^2-h_1^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}}] =\\=\frac{π}{6}h_2(h_2^2-3R^2)+\frac{π}{3}R^3+\frac{2}{3}h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}-\frac{1}{3}h_2(h_2^2-3R^2)\arctan{\frac{h_1}{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}}- \frac{2}{3}R^3\arctan{\frac{h_1h_2}{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}}+\frac{1}{3}h_1(h_1^2-3R^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}}=\\=\frac{π}{6}h_2(h_2^2-3R^2)+\frac{π}{3}R^3+\frac{2}{3}h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}-\frac{1}{3}h_2(h_2^2-3R^2)(\frac{π}{2}-\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1}})- \frac{2}{3}R^3(\frac{π}{2}-\arctan{\frac{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1h_2}}+\frac{1}{3}h_1(h_1^2-3R^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}}=\\=\frac{2}{3}h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}+\frac{2}{3}R^3\arctan{\frac{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1h_2}}-\frac{1}{3}h_2(3R^3-h_2^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1}}-\frac{1}{3}h_1(3R^3-h_1^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)      \)

        上面这个公式 \( (5) \) 就是所求体积的最简表达式。

点评

计算方法跟我的相同。只是在一开始弓形面积的表达就不同了。可以将3#的结果通过反三角函数的关系变换成你的表达式  发表于 2016-12-7 20:18

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 楼主| 发表于 2016-12-6 09:49:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2016-12-6 10:01 编辑

\( V=\frac{2}{3}h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}+\frac{2}{3}R^3\arctan{\frac{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1h_2}}-\frac{1}{3}h_2(3R^3-h_2^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1}}-\frac{1}{3}h_1(3R^3-h_1^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}}  \)

        为验证公式的正确性,给定一组数据 \( R=10,h_1=3, h_2=5 \),按上面公式用 mathematica 算得体积为 \( 152.3457742。 \)
您可以用其它公式或算法另行计算体积,看是否与上面结果一致。
  1. R = 10; h1 = 3; h2 = 5;
  2. V = 2/3 h1 h2 Sqrt[R^2 - h1^2 - h2^2] +
  3.    2/3 R^3 ArcTan[(R Sqrt[R^2 - h1^2 - h2^2])/(h1 h2)] -
  4.    1/3 h2 (3 R^2 - h2^2) ArcTan[Sqrt[R^2 - h1^2 - h2^2]/h1 ] -
  5.    1/3 h1 (3 R^2 - h1^2) ArcTan[Sqrt[R^2 - h1^2 - h2^2]/h2 ];
  6. N[V, 10]
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