单位球面上八点形成凸多面体的最大体积

hejoseph

求单位球面上八点形成凸多面体的最大体积

lsr314

楼主有发现比正方体更大的吗

hejoseph

当然不是正方体，如上图这个双六棱锥都比正方体的体积大

mathe

这个题目和以前一个题目http://bbs.emath.ac.cn/thread-8837-1-1.html 有一点关联。
如果仅指定8个点，可以让计算机进行随机搜索。
比如随机生成球面上8个点，求出其闭包对应凸多面体，然后接下去每次局部调整一个点的位置使多面体体积达到最大，调整不同的点反复迭代，直到误差充分小即可得出一个局部最优值。
试验充分多的的情况就应该可以找出一个很好的解。

而如何调整一个点使得体积最大，这是一个简单的极值问题。我们看和这个点连接的所有点和这个点构成一个多面体，可以划分成若干个四面体（每个四面体都包含这个定点），计算所有四面体体积累加就可以得出这部分体积
所以我们需要计算每个四面体底面面积(在只调整一个顶点时是常数)，而高会变化，变成一个带约束极值问题

lsr314

找到两篇论文：
https://www.researchgate.net/pub ... _in_the_unit_sphere
http://www-users.cs.umn.edu/~shao/fulltext.pdf
最优解（本题是N=8）：

lsr314

N=8时，体积的最大值是$\sqrt{(475+29\sqrt{145})/250}=1.81571610...$

hejoseph

谢谢lsr314提供的资料，我也是得到那个结果，我的做法是列举所有可能出现的情况在做计算。但可惜那些资料里没提供具体的构造参数，要构造出具体的多面体还得根据图来重新计算。
由结果的图来看，单位球面上体积最大的凸多面体的面都是三角形。