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[原创] 从 3 x + 1 问题说到 5 x + 1 问题

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发表于 2016-12-30 15:16:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
各位都知道那个有名的 3 x + 1 问题:任意给定一个正整数 x,如果它是偶数,就将它除以 2,如果是奇数就将它乘 3 加 1。如此运算下去,最后的结果必然是 1。这个问题是世界难题,至今未能得到证明。
      如果把 3 x + 1 问题改成 5 x + 1 问题,是个什么情况呢? 有以下猜想:
      任意给定一个正整数 x,如果它是偶数,就将它除以 2,如果是奇数就将它乘 5 加 1。如此运算下去,最后的结果有三种情况:

(1)收敛到 1。这种情况占少数。
(2)发散。这种情况占多数。
(3)进入下列两个循环圈中的一个(这种情况也占少数):


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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2016-12-30 15:17:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2016-12-30 15:23 编辑

1----收敛到 1。

2----收敛到 1。

3----收敛到 1。

4----收敛到 1。

5----从第 1 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{26,13,66,33,166,83,416,208,104,52,26}

6----收敛到 1。

7----发散!

8----收敛到 1。

9----发散!

10----从第 2 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{26,13,66,33,166,83,416,208,104,52,26}

11----发散!

12----收敛到 1。

13----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{13,66,33,166,83,416,208,104,52,26,13}

14----发散!

15----收敛到 1。

16----收敛到 1。

17----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{17,86,43,216,108,54,27,136,68,34,17}

18----发散!

19----收敛到 1。

20----从第 3 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{26,13,66,33,166,83,416,208,104,52,26}

21----发散!

22----发散!

23----发散!

24----收敛到 1。

25----发散!

26----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{26,13,66,33,166,83,416,208,104,52,26}

27----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{27,136,68,34,17,86,43,216,108,54,27}

28----发散!

29----发散!

30----收敛到 1。

31----发散!

32----收敛到 1。

33----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{33,166,83,416,208,104,52,26,13,66,33}

34----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{34,17,86,43,216,108,54,27,136,68,34}

35----发散!

36----发散!

37----发散!

38----收敛到 1。

39----发散!

40----从第 4 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{26,13,66,33,166,83,416,208,104,52,26}

41----发散!

42----发散!

43----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{43,216,108,54,27,136,68,34,17,86,43}

44----发散!

45----发散!

46----发散!

47----发散!

48----收敛到 1。

49----发散!

50----发散!

51----收敛到 1。

52----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{52,26,13,66,33,166,83,416,208,104,52}

53----发散!

54----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{54,27,136,68,34,17,86,43,216,108,54}

55----发散!

56----发散!

57----发散!

58----发散!

59----发散!

60----收敛到 1。

61----发散!

62----发散!

63----发散!

64----收敛到 1。

65----收敛到 1。

66----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

67----发散!

68----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{68,34,17,86,43,216,108,54,27,136,68}

69----发散!

70----发散!

71----发散!

72----发散!

73----发散!

74----发散!

75----发散!

76----收敛到 1。

77----发散!

78----发散!

79----发散!

80----从第 5 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{26,13,66,33,166,83,416,208,104,52,26}

81----发散!

82----发散!

83----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{83,416,208,104,52,26,13,66,33,166,83}

84----发散!

85----发散!

86----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{86,43,216,108,54,27,136,68,34,17,86}

87----发散!

88----发散!

89----发散!

90----发散!

91----发散!

92----发散!

93----发散!

94----发散!

95----发散!

96----收敛到 1。

97----收敛到 1。

98----发散!

99----发散!

100----发散!

101----发散!

102----收敛到 1。

103----发散!

104----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{104,52,26,13,66,33,166,83,416,208,104}

105----从第 101 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

106----发散!

107----发散!

108----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{108,54,27,136,68,34,17,86,43,216,108}

109----发散!

110----发散!

111----发散!

112----发散!

113----发散!

114----发散!

115----发散!

116----发散!

117----发散!

118----发散!

119----发散!

120----收敛到 1。

121----发散!

122----发散!

123----发散!

124----发散!

125----发散!

126----发散!

127----发散!

128----收敛到 1。

129----发散!

130----收敛到 1。

131----发散!

132----从第 1 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

133----发散!

134----发散!

135----发散!

136----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{136,68,34,17,86,43,216,108,54,27,136}

137----收敛到 1。

138----发散!

139----发散!

140----发散!

141----发散!

142----发散!

143----发散!

144----发散!

145----发散!

146----发散!

147----发散!

148----发散!

149----发散!

150----发散!

151----发散!

152----收敛到 1。

153----发散!

154----发散!

155----收敛到 1。

156----发散!

157----发散!

158----发散!

159----发散!

160----从第 6 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{26,13,66,33,166,83,416,208,104,52,26}

161----发散!

162----发散!

163----收敛到 1。

164----发散!

165----发散!

166----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{166,83,416,208,104,52,26,13,66,33,166}

167----发散!

168----发散!

169----发散!

170----发散!

171----发散!

172----从第 1 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{86,43,216,108,54,27,136,68,34,17,86}

173----发散!

174----发散!

175----收敛到 1。

176----发散!

177----发散!

178----发散!

179----发散!

180----发散!

181----从第 38 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

182----发散!

183----发散!

184----发散!

185----从第 48 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

186----发散!

187----发散!

188----发散!

189----发散!

190----发散!

191----发散!

192----收敛到 1。

193----发散!

194----收敛到 1。

195----发散!

196----发散!

197----发散!

198----发散!

199----发散!

200----发散!

201----发散!

202----发散!

203----发散!

204----收敛到 1。

205----发散!

206----发散!

207----发散!

208----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{208,104,52,26,13,66,33,166,83,416,208}

209----发散!

210----从第 102 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

211----从第 5 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

212----发散!

213----发散!

214----发散!

215----从第 112 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

216----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{216,108,54,27,136,68,34,17,86,43,216}

217----发散!

218----发散!

219----收敛到 1。

220----发散!

221----发散!

222----发散!

223----发散!

224----发散!

225----发散!

226----发散!

227----发散!

228----发散!

229----发散!

230----发散!

231----发散!

232----发散!

233----发散!

234----发散!

235----发散!

236----发散!

237----发散!

238----发散!

239----发散!

240----收敛到 1。

241----发散!

242----发散!

243----收敛到 1。

244----发散!

245----从第 69 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

246----发散!

247----发散!

248----发散!

249----发散!

250----发散!

251----发散!

252----发散!

253----发散!

254----发散!

255----发散!

256----收敛到 1。

257----发散!

258----发散!

259----发散!

260----收敛到 1。

261----发散!

262----发散!

263----从第 99 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

264----从第 2 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

265----发散!

266----发散!

267----发散!

268----发散!

269----从第 109 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

270----发散!

271----发散!

272----从第 1 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{136,68,34,17,86,43,216,108,54,27,136}

273----发散!

274----收敛到 1。

275----从第 5 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{86,43,216,108,54,27,136,68,34,17,86}

276----发散!

277----发散!

278----发散!

279----发散!

280----发散!

281----发散!

282----发散!

283----发散!

284----发散!

285----发散!

286----发散!

287----发散!

288----发散!

289----发散!

290----发散!

291----发散!

292----发散!

293----发散!

294----发散!

295----发散!

296----发散!

297----发散!

298----发散!

299----发散!

300----发散!

301----发散!

302----发散!

303----发散!

304----收敛到 1。

305----发散!

306----发散!

307----收敛到 1。

308----发散!

309----发散!

310----收敛到 1。

311----发散!

312----发散!

313----发散!

314----发散!

315----发散!

316----发散!

317----发散!

318----发散!

319----发散!

320----从第 7 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{26,13,66,33,166,83,416,208,104,52,26}

321----发散!

322----发散!

323----发散!

324----发散!

325----发散!

326----收敛到 1。

327----发散!

328----发散!

329----从第 96 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

330----发散!

331----发散!

332----从第 1 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{166,83,416,208,104,52,26,13,66,33,166}

333----发散!

334----发散!

335----发散!

336----发散!

337----发散!

338----发散!

339----发散!

340----发散!

341----发散!

342----发散!

343----收敛到 1。

344----从第 2 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{86,43,216,108,54,27,136,68,34,17,86}

345----发散!

346----发散!

347----发散!

348----发散!

349----发散!

350----收敛到 1。

351----发散!

352----发散!

353----发散!

354----发散!

355----发散!

356----发散!

357----发散!

358----发散!

359----发散!

360----发散!

361----发散!

362----从第 39 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

363----发散!

364----发散!

365----发散!

366----发散!

367----发散!

368----发散!

369----发散!

370----从第 49 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

371----发散!

372----发散!

373----发散!

374----发散!

375----发散!

376----发散!

377----发散!

378----发散!

379----发散!

380----发散!

381----发散!

382----发散!

383----发散!

384----收敛到 1。

385----发散!

386----发散!

387----发散!

388----收敛到 1。

389----发散!

390----发散!

391----发散!

392----发散!

393----发散!

394----发散!

395----发散!

396----发散!

397----收敛到 1。

398----发散!

399----发散!

400----发散!

401----发散!

402----发散!

403----发散!

404----发散!

405----发散!

406----发散!

407----发散!

408----收敛到 1。

409----发散!

410----发散!

411----发散!

412----发散!

413----发散!

414----发散!

415----发散!

416----从第 0 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

417----收敛到 1。

418----发散!

419----发散!

420----从第 103 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

421----发散!

422----从第 6 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

423----发散!

424----发散!

425----发散!

426----发散!

427----发散!

428----发散!

429----收敛到 1。

430----从第 113 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

431----发散!

432----从第 1 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{216,108,54,27,136,68,34,17,86,43,216}

433----发散!

434----发散!

435----从第 5 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{136,68,34,17,86,43,216,108,54,27,136}

436----发散!

437----发散!

438----收敛到 1。

439----发散!

440----发散!

441----发散!

442----发散!

443----发散!

444----发散!

445----发散!

446----发散!

447----发散!

448----发散!

449----发散!

450----发散!

451----发散!

452----发散!

453----从第 36 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

454----发散!

455----发散!

456----发散!

457----从第 40 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

458----发散!

459----发散!

460----发散!

461----发散!

462----发散!

463----从第 46 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

464----发散!

465----发散!

466----发散!

467----发散!

468----发散!

469----发散!

470----发散!

471----发散!

472----发散!

473----发散!

474----发散!

475----发散!

476----发散!

477----发散!

478----发散!

479----发散!

480----收敛到 1。

481----发散!

482----发散!

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490----从第 70 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

491----收敛到 1。

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526----从第 100 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

527----发散!

528----从第 3 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

529----发散!

530----发散!

531----从第 5 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{166,83,416,208,104,52,26,13,66,33,166}

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538----从第 110 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

539----发散!

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544----从第 2 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{136,68,34,17,86,43,216,108,54,27,136}

545----发散!

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548----收敛到 1。

549----发散!

550----从第 6 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{86,43,216,108,54,27,136,68,34,17,86}

551----发散!

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579----从第 43 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

580----发散!

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613----从第 67 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

614----收敛到 1。

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640----从第 8 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{26,13,66,33,166,83,416,208,104,52,26}

641----发散!

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658----从第 97 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

659----发散!

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664----从第 2 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{166,83,416,208,104,52,26,13,66,33,166}

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673----从第 107 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

674----发散!

675----从第 10 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

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687----发散!

688----从第 3 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{86,43,216,108,54,27,136,68,34,17,86}

689----发散!

690----发散!

691----从第 5 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{216,108,54,27,136,68,34,17,86,43,216}

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724----从第 40 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

725----发散!

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731----从第 44 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

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740----从第 50 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

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823----从第 94 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

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832----从第 1 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

833----发散!

834----收敛到 1。

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840----从第 104 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

841----发散!

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843----发散!

844----从第 7 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

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860----从第 114 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

861----发散!

862----发散!

863----发散!

864----从第 2 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{216,108,54,27,136,68,34,17,86,43,216}

865----发散!

866----发散!

867----发散!

868----发散!

869----发散!

870----从第 6 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{136,68,34,17,86,43,216,108,54,27,136}

871----发散!

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876----收敛到 1。

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881----从第 124 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

882----发散!

883----发散!

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906----从第 37 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

907----发散!

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914----从第 41 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

915----发散!

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926----从第 47 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{66,33,166,83,416,208,104,52,26,13,66}

927----发散!

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945----从第 40 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{86,43,216,108,54,27,136,68,34,17,86}

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980----从第 71 步开始进入循环圈(循环圈长度是 10):{416,208,104,52,26,13,66,33,166,83,416}

981----发散!

982----收敛到 1。

983----发散!

984----发散!

985----发散!

986----发散!

987----发散!

988----发散!

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990----发散!

991----发散!

992----发散!

993----收敛到 1。

994----发散!

995----发散!

996----发散!

997----发散!

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1000----发散!

收敛的共有 81 个

发散的共有 833 个

有循环圈的共有 86 个

点评

这个网站能发很大的文件哈。【数学中国】网站就不行。  发表于 2016-12-30 15:34
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2016-12-30 15:22:48 | 显示全部楼层
从 1 到 1000 的统计结果:

收敛的共有 81 个。

发散的共有 833 个。

有循环圈的共有 86 个。

循环圈无非是下面两个中的一个:

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2016-12-30 15:28:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2016-12-30 19:42 编辑
  1. w1 = 0; w2 = 0; w3 = 0;
  2. For[k = 1, k <= 1000, k++,
  3. n0 = k;
  4. n = k;
  5. m = 0; mm = 0;
  6. lst = {n};
  7. For[i = 1, i <= 300, i++,
  8.    If[EvenQ[n], n = n/2, n = 5 n + 1];
  9.    lst = Append[lst, n];
  10.     For[j = 1, j < i, j++;
  11.     If[n == 1, m = 2];
  12.     If[n == lst[[j - 1]], m = 1; mm = j - 1]];
  13.    If[m == 1 || m == 2, Break[]]
  14.    ]  
  15.   If[m == 2 || n0 == 2, w1 = w1 + 1; Print[n0, "----\!\(\*
  16. StyleBox["收敛到",\nFontColor->RGBColor[0, 0, 1]]\)\!\(\*
  17. StyleBox[" ",\nFontColor->RGBColor[0, 0, 1]]\)\!\(\*
  18. StyleBox["1",\nFontColor->RGBColor[0, 0, 1]]\)\!\(\*
  19. StyleBox["。",\nFontColor->RGBColor[0, 0, 1]]\)"],
  20.    If[m != 1 , w2 = w2 + 1; Print[n0, "----\!\(\*
  21. StyleBox["发散",\nFontColor->RGBColor[1, 0, 0]]\)\!\(\*
  22. StyleBox["!",\nFontColor->RGBColor[1, 0, 0]]\)"], w3 = w3 + 1;
  23.     Print[n0, "----从第 ", mm - 1, " 步开始进入循环圈(循环圈长度是 ", j + 1 - mm,
  24.      "):", {lst[[mm]], lst[[mm + 1]], lst[[mm + 2]], lst[[mm + 3]],
  25.       lst[[mm + 4]], lst[[mm + 5]], lst[[mm + 6]], lst[[mm + 7]],
  26.       lst[[mm + 8]], lst[[mm + 9]], lst[[mm + 10]]}]]]
  27. ]
  28. Print["收敛的共有 ", w1, " 个"]
  29. Print["发散的共有 ", w2, " 个"]
  30. Print["有循环圈的共有 ", w3, " 个"]
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从 1 到 1000 这些数当中,只有 81 个能收敛到 1。这 81 个数有什么特点,能让它们最终登上 1 的宝座呢?

上面是 mathematica 程序,供各位看官研究此问题。也期待将上述程序优化。
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-12-30 15:57:42 | 显示全部楼层
3x-1问题应该性质更加好

点评

对于 3X-1 问题,前 1000 个数有 349 个收敛到 1,其余是进入循环圈。没有发散的。  发表于 2016-12-31 15:35
3X-1 问题,要么收敛到 1,要么进入循环圈。没有发散的情况出现。  发表于 2016-12-31 14:36
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发表于 2016-12-30 15:59:14 | 显示全部楼层
5x+1应该改成如果是2或3的倍数就分别除以2或3,不然乘上5再加1

点评

一般都采用遇到偶数除以2.  发表于 2016-12-30 20:47
噢,这样的话,就都收敛到 1 了。  发表于 2016-12-30 20:11
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发表于 2016-12-30 20:49:25 | 显示全部楼层
如果证明了3X++1问题,就比较容易理解5X+1问题。

点评

反之也一样: 如果理解了 5X+1 问题,也会有助于对 3X+1 问题的理解。  发表于 2016-12-31 07:41
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 楼主| 发表于 2016-12-31 07:30:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2016-12-31 07:38 编辑
mathe 发表于 2016-12-30 15:59
5x+1应该改成如果是2或3的倍数就分别除以2或3,不然乘上5再加1


经验证,5x+1 问题若改成:如果 X 是 2 或 3 的倍数就分别除以 2 或 3,不然就乘上 5 再加 1 。
      这样的话,就能全部收敛到 1 了。
经验证,7x+1 问题若改成:如果 X 是 2 或 3 或 5 的倍数就分别除以 2 或 3 或 5,不然就乘上 7 再加 1 。
      这样的话,就能全部收敛到 1 了。
经验证,9x+1 问题若改成:如果 X 是 2 或 3 或 5 或 7 的倍数就分别除以 2 或 3 或 5 或 7,不然就乘上 9 再加 1 。
      这样的话,嘿嘿,并不能全部收敛到 1 了 !


  1. s = 0;
  2. For[k = 1, k <= 1000, k++,
  3. n0 = k;
  4. n = k;
  5. For[i = 1, i < 500, i++,
  6.   If[Mod[n, 2] == 0, n = n/2,
  7.    If[Mod[n, 3] == 0, n = n/3, n = 5 n + 1]];
  8.   If[n == 1, s++; Break[]];
  9.   ] ]; Print[s];
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上面这个 5X+1 程序,对 1 到 1000 进行测试,共有 1000 个数收敛到 1。

  1. s = 0;
  2. For[k = 1, k <= 1000, k++,
  3. n0 = k;
  4. n = k;
  5. For[i = 1, i < 500, i++,
  6.   If[Mod[n, 2] == 0, n = n/2,
  7.    If[Mod[n, 3] == 0, n = n/3,
  8.     If[Mod[n, 5] == 0, n = n/5, n = 7 n + 1]]];
  9.   If[n == 1, s++; Break[]];
  10.   ] ]; Print[s];
复制代码

上面这个 7X+1 程序,对 1 到 1000 进行测试,共有 1000 个数收敛到 1。

  1. s = 0;
  2. For[k = 1, k <= 1000, k++,
  3. n0 = k;
  4. n = k;
  5. For[i = 1, i < 500, i++,
  6.   If[Mod[n, 2] == 0, n = n/2,
  7.    If[Mod[n, 3] == 0, n = n/3,
  8.     If[Mod[n, 5] == 0, n = n/5,
  9.      If[Mod[n, 7] == 0, n = n/7, n = 9 n + 1]]]];
  10.   If[n == 1, s++; Break[]];
  11.   ] ]; Print[s];
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上面这个 9X+1 程序,对 1 到 1000 进行测试,只有 423 个数收敛到 1。

点评

如果 9X+1 按传统那样定义,则大多数发散,只有少数收敛到 1,没有进入循环圈的。 如果 9X+1 按上面那个新定义,则要么收敛到 1,要么进入长度是 71 的循环圈。没有发散的。  发表于 2016-12-31 15:31
不应该奢望全部收敛到1,只要有界(循环了)就算收敛了才对  发表于 2016-12-31 13:31
那么, 9X+1 问题应该如何修正,才能全部收敛到 1 呢? 再进一步, QX+1 问题应该如何表述,才能全部收敛到 1 呢?这里 Q 是一个大于 3 的奇数。  发表于 2016-12-31 07:59
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 楼主| 发表于 2016-12-31 22:58:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2016-12-31 23:17 编辑

今天取得了两个成果:
(1)按照 8# 楼上的 5X+1 和 7X+1,分别验证到 100 万,均通过。即全部都能收敛到 1。
(2)将 8# 楼的 9X+1 程序增加除以 11 和 13 的条件,验证到 100 万,通过。即全部都能收敛到 1。程序如下:
  1. s = 0;
  2. For[k = 1, k <= 1000000, k++, n0 = k;(* 1000000 已验证 *)
  3. n = k;
  4. For[i = 1, i < 500, i++,
  5.   If[Mod[n, 2] == 0, n = n/2,
  6.    If[Mod[n, 3] == 0, n = n/3,
  7.     If[Mod[n, 5] == 0, n = n/5,
  8.      If[Mod[n, 7] == 0, n = n/7,
  9.       If[Mod[n, 11] == 0, n = n/11,
  10.        If[Mod[n, 13] == 0, n = n/13, n = 9 n + 1]]]]]];
  11.   If[n == 1, s++; Break[]];]]; Print[s];
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     上面这程序运行的结果为 1000000,即全部收敛到 1。

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 楼主| 发表于 2016-12-31 23:03:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2016-12-31 23:22 编辑

验证不等于证明。要证明上述 5X+1、7X+1、9X+1 猜想,恐怕也是极困难的。
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