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楼主: TSC999

[原创] 从 3 x + 1 问题说到 5 x + 1 问题

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 楼主| 发表于 2016-12-31 23:20:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2016-12-31 23:24 编辑

对于 48758 这个数而言,它在 9X+1 程序中运行时,需要操作 302 次才能收敛到 1:

因此在程序中,设定操作次数时不能太小,不然有可能误判(把本来能收敛到 1 的,误判成了发散 )。

0----48758

1----24379

2----219412

3----109706

4----54853

5----493678

6----246839

7----2221552

8----1110776

9----555388

10----277694

11----138847

12----1249624

13----624812

14----312406

15----156203

16----1405828

17----702914

18----351457

19----3163114

20----1581557

21----14234014

22----7117007

23----64053064

24----32026532

25----16013266

26----8006633

27----72059698

28----36029849

29----324268642

30----162134321

31----1459208890

32----729604445

33----145920889

34----1313288002

35----656644001

36----50511077

37----454599694

38----227299847

39----2045698624

40----1022849312

41----511424656

42----255712328

43----127856164

44----63928082

45----31964041

46----287676370

47----143838185

48----28767637

49----258908734

50----129454367

51----18493481

52----166441330

53----83220665

54----16644133

55----1513103

56----13617928

57----6808964

58----3404482

59----1702241

60----15320170

61----7660085

62----1532017

63----13788154

64----6894077

65----62046694

66----31023347

67----279210124

68----139605062

69----69802531

70----628222780

71----314111390

72----157055695

73----31411139

74----282700252

75----141350126

76----70675063

77----636075568

78----318037784

79----159018892

80----79509446

81----39754723

82----357792508

83----178896254

84----89448127

85----805033144

86----402516572

87----201258286

88----100629143

89----905662288

90----452831144

91----226415572

92----113207786

93----56603893

94----509435038

95----254717519

96----36388217

97----327493954

98----163746977

99----1473722794

100----736861397

101----6631752574

102----3315876287

103----29842886584

104----14921443292

105----7460721646

106----3730360823

107----532908689

108----4796178202

109----2398089101

110----21582801910

111----10791400955

112----2158280191

113----19424521720

114----9712260860

115----4856130430

116----2428065215

117----485613043

118----4370517388

119----2185258694

120----1092629347

121----9833664124

122----4916832062

123----2458416031

124----22125744280

125----11062872140

126----5531436070

127----2765718035

128----553143607

129----4978292464

130----2489146232

131----1244573116

132----622286558

133----311143279

134----2800289512

135----1400144756

136----700072378

137----350036189

138----3150325702

139----1575162851

140----14176465660

141----7088232830

142----3544116415

143----708823283

144----101260469

145----911344222

146----455672111

147----4101049000

148----2050524500

149----1025262250

150----512631125

151----102526225

152----20505245

153----4101049

154----36909442

155----18454721

156----166092490

157----83046245

158----16609249

159----149483242

160----74741621

161----672674590

162----336337295

163----67267459

164----9609637

165----86486734

166----43243367

167----389190304

168----194595152

169----97297576

170----48648788

171----24324394

172----12162197

173----109459774

174----54729887

175----492568984

176----246284492

177----123142246

178----61571123

179----554140108

180----277070054

181----138535027

182----1246815244

183----623407622

184----311703811

185----2805334300

186----1402667150

187----701333575

188----140266715

189----28053343

190----252480088

191----126240044

192----63120022

193----31560011

194----4508573

195----40577158

196----20288579

197----182597212

198----91298606

199----45649303

200----6521329

201----58691962

202----29345981

203----4192283

204----37730548

205----18865274

206----9432637

207----84893734

208----42446867

209----382021804

210----191010902

211----95505451

212----859549060

213----429774530

214----214887265

215----42977453

216----386797078

217----193398539

218----1740586852

219----870293426

220----435146713

221----3916320418

222----1958160209

223----17623441882

224----8811720941

225----79305488470

226----39652744235

227----7930548847

228----610042219

229----5490379972

230----2745189986

231----1372594993

232----196084999

233----17825909

234----160433182

235----80216591

236----11459513

237----881501

238----7933510

239----3966755

240----793351

241----61027

242----549244

243----274622

244----137311

245----1235800

246----617900

247----308950

248----154475

249----30895

250----6179

251----55612

252----27806

253----13903

254----125128

255----62564

256----31282

257----15641

258----140770

259----70385

260----14077

261----2011

262----18100

263----9050

264----4525

265----905

266----181

267----1630

268----815

269----163

270----1468

271----734

272----367

273----3304

274----1652

275----826

276----413

277----59

278----532

279----266

280----133

281----19

282----172

283----86

284----43

285----388

286----194

287----97

288----874

289----437

290----3934

291----1967

292----281

293----2530

294----1265

295----253

296----23

297----208

298----104

299----52

300----26

301----13

302----1

48758----收敛到 1。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-1-1 08:29:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2017-1-1 08:46 编辑

今天继续验证 11X+1 程序,顺利通过了 100 万以内的验证。程序如下:

  1. s = 0;
  2. For[k = 1, k <= 1000000, k++, n0 = k;(*  1000000 已验证 *)
  3. n = k;
  4. For[i = 1, i < 500, i++,
  5.   If[Mod[n, 2] == 0, n = n/2,
  6.    If[Mod[n, 3] == 0, n = n/3,
  7.     If[Mod[n, 5] == 0, n = n/5,
  8.      If[Mod[n, 7] == 0, n = n/7,
  9.       If[Mod[n, 11] == 0, n = n/11,
  10.        If[Mod[n, 13] == 0, n = n/13,
  11.         If[Mod[n, 17] == 0, n = n/17, n = 11 n + 1]]]]]]];
  12.   If[n == 1, s++; Break[]];]]; Print[s];
复制代码


程序运行了大约 10 分钟还是 20 分钟,给出结果 1000000,即全部收敛到 1。

点评

然而规律是什么,并没有找到。  发表于 2017-1-1 08:29
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 楼主| 发表于 2017-1-1 08:45:43 | 显示全部楼层
继续验证 13X+1 程序,通过 100 万验证。程序如下:
  1. s = 0;
  2. For[k = 1, k <= 1000000, k++, n0 = k;(*  1000000 已验证 *)
  3. n = k;
  4. For[i = 1, i < 500, i++,
  5.   If[Mod[n, 2] == 0, n = n/2,
  6.    If[Mod[n, 3] == 0, n = n/3,
  7.     If[Mod[n, 5] == 0, n = n/5,
  8.      If[Mod[n, 7] == 0, n = n/7,
  9.       If[Mod[n, 11] == 0, n = n/11,
  10.        If[Mod[n, 13] == 0, n = n/13,
  11.         If[Mod[n, 17] == 0, n = n/17,
  12.          If[Mod[n, 19] == 0, n = n/19, n = 13 n + 1]]]]]]]];
  13.   If[n == 1, s++; Break[]];]]; Print[s];
复制代码


程序运行了不到 10 分钟,给出结果 1000000,即全部收敛到 1。
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 楼主| 发表于 2017-1-1 09:20:26 | 显示全部楼层
但是,好日子大概就此到头了。15X+1 按此思路似乎弄不成了,连前 1000 个数都通不过。雪拥蓝关马不前。
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发表于 2017-1-1 10:40:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 happysxyf 于 2017-1-1 10:41 编辑
TSC999 发表于 2017-1-1 09:20
但是,好日子大概就此到头了。15X+1 按此思路似乎弄不成了,连前 1000 个数都通不过。雪拥蓝关马不前。


起码15x+1之前的满足你那个规律,我也没去证明,估计也不好证明。

经验证,5x+1 问题若改成:如果 X 是 2 或 3 的倍数就分别除以 2 或 3,不然就乘上 5 再加 1 。
      这样的话,就能全部收敛到 1 了。
经验证,7x+1 问题若改成:如果 X 是 2 或 3 或 5 的倍数就分别除以 2 或 3 或 5,不然就乘上 7 再加 1 。
      这样的话,就能全部收敛到 1 了。

这是啥猜想,应该有人发现过。
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 楼主| 发表于 2017-1-2 11:38:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2017-1-2 13:51 编辑

今天把蓝关前的雪清扫了,又策马懒洋洋地走了一程,总算过了 15X+1 这一关。

对 100 万以内的数字验证,全部收敛到 1,心想总算见到了佛祖,谁知是个假雷音寺。继续验证 100万至200万时,有 5 个数没有收敛到 1。

再也不想上西天取经了。

点评

对前面的 5X+1,7X+1 等等也产生了怀疑。验算到 1000 万,还好,都能通过。 而对 9X+1,必须再增加除以 17 才能验算到通过 1000 万。  发表于 2017-1-2 22:38
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发表于 2017-1-2 22:09:00 | 显示全部楼层
好像合数不行,质数就行。我没验证,看着猜猜。

点评

我也有此感觉,貌似 9X+1 和 15X+1 最难缠。  发表于 2017-1-3 07:43
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 楼主| 发表于 2017-1-5 13:36:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2017-1-5 16:31 编辑

要除以哪些质数?见下表。


典型的验证程序举例:
  1. w1 = 0; w2 = 0; w3 = 0;
  2. For[k = 10000000000000001, k <= 10000000000000001 + 10000 - 1, k++,
  3. n0 = k;
  4. n = k;
  5. m = 0; mm = 0;
  6. lst = {n};
  7. For[i = 1, i < 100000, i++,
  8.    If[Mod[n, 2] == 0, n = n/2,
  9.     If[Mod[n, 3] == 0, n = n/3,
  10.      If[Mod[n, 5] == 0, n = n/5,
  11.       If[Mod[n, 7] == 0, n = n/7,
  12.        If[Mod[n, 11] == 0, n = n/11,
  13.         If[Mod[n, 13] == 0, n = n/13,
  14.          If[Mod[n, 17] == 0, n = n/17,
  15.           If[Mod[n, 19] == 0, n = n/19,
  16.            If[Mod[n, 23] == 0, n = n/23, n = 17 n + 1]]]]]]]]];
  17.    lst = Append[lst, n];
  18.     For[j = 1, j < i, j++;
  19.     If[n == 1, m = 2];
  20.     If[n == lst[[j - 1]], m = 1; mm = j - 1]];
  21.    If[m == 1 || m == 2, Break[]]
  22.    ]  
  23.   If[m == 2 || n0 == 5, w1 = w1 + 1,
  24.    If[m != 1 , w2 = w2 + 1; Print[n0, "----\!\(\*
  25. StyleBox["发散",\nFontColor->RGBColor[1, 0, 0]]\)\!\(\*
  26. StyleBox["!",\nFontColor->RGBColor[1, 0, 0]]\)"], w3 = w3 + 1;
  27.     Print[n0, "----从第 ", mm - 1, " 步开始进入循环圈(循环圈长度是 ", j + 1 - mm,
  28.      ")"]]]
  29. ]
  30. Print["收敛到 1 的共有 ", w1, " 个"]
  31. Print["发散的共有 ", w2, " 个"]
  32. Print["有循环圈的共有 ", w3, " 个"]

  33. 收敛到 1 的共有 10000 个

  34. 发散的共有 0 个

  35. 有循环圈的共有 0 个
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