x^2-xy+y^2=z^3

wsc810

\(x^2-xy+y^2=z^3\),求关于\(x,y,z\)的整数解

mathematica

1,1,1
3,6,3
8,8,4
1,19,7
18,19,7
7,21,7
14,21,7
27,27,9
24,48,12
13,52,13
39,52,13
17,53,13
36,53,13
64,64,16
17,90,19
73,90,19
38,95,19
57,95,19
21,105,21
84,105,21
51,111,21
60,111,21
125,125,25
8,152,28
144,152,28
81,162,27
56,168,28
112,168,28
31,186,31
155,186,31
90,199,31
109,199,31
216,216,36
71,252,37
181,252,37
111,259,37
148,259,37
57,267,39
210,267,39
78,273,39
195,273,39
43,301,43
258,301,43
126,323,43
197,323,43
343,343,49
37,360,49
323,360,49
192,384,48
112,385,49
273,385,49
147,392,49
245,392,49
104,416,52
312,416,52
136,424,52
288,424,52
57,456,57
399,456,57
168,489,57
321,489,57
512,512,64
27,513,63
486,513,63
179,540,61
361,540,61
244,549,61
305,549,61
189,567,63
378,567,63
134,603,67
469,603,67
251,629,67
378,629,67
73,657,73
584,657,73
216,703,73
487,703,73
136,720,76
584,720,76
729,729,81
375,750,75
127,757,79
630,757,79
304,760,76
456,760,76
237,790,79
553,790,79
168,840,84
672,840,84
14,875,91
861,875,91
408,888,84
480,888,84
91,910,91
819,910,91
57,924,93
867,924,93
195,949,91
754,949,91
270,971,91
701,971,91
286,975,91
689,975,91
359,990,91
631,990,91
385,994,91
609,994,91
1000,1000,100

mathe

设`w^3=1`, 而且`w`不是 1, 而是复数。那么任意选择整数`a, b`,计算`(a+bw)^3`, 表示为`x+yw`即可.
由于`w^2=-w-1`, 展开得`a^3+b^3+3a^2bw-3ab^2(w+1)`
选择`x=a^3+b^3-3ab^2`,    `y=3ab(a-b)`

kastin

mathe写的比较简略，这里稍微详细写一下：
设 `w` 为三次单位根中的复根，有 `w+w^2=-1`，于是`\bar w=w^2,\bar w^2=w^4=w`.
原方程在`\QQ[w]`中可唯一分解$$x^2-xy+y^2=|x+yw|^2=(x+yw)(x+y\bar w)=z^3\tag{1}$$其中 `x,y,z\in \ZZ`.
再考虑到对于任意整数 `n=0,\pm1,\pm2,\pm3,\cdots`，`(1+w)^n` 为单位数，那么通解可表示为$$\begin{align*}x+yw&=(1+w)^n(s+tw)^3\\z&=s^2-st+t^2\end{align*}\tag{2}$$其中 `s,t\in\ZZ`.

1. 当 `n\equiv 0\pmod{3}` 时，通解可简化为$$\begin{align*}x+yw&=(a+bw)^3\\z&=a^2-ab+b^2\end{align*}\label{2.1}\tag{2.1}$$即$$\begin{cases}x=a^3+b^3-3ab^2\\y=3ab(a-b)\\z=a^2-ab+b^2\end{cases}$$其中 `a,b\in\ZZ`.

2. 当 `n\equiv\pm1\pmod{3}` 时，有通解$$\begin{align*}x+yw&=(1+w)(a+bw)^3\\z&=a^2-ab+b^2\end{align*}\label{2.2}\tag{2.2}$$即$$\begin{cases}x=a^3+b^3-3a^2b\\y=a^3+b^3-3ab^2\\z=a^2-ab+b^2\end{cases}$$其中 `a,b\in\ZZ`.
或$$\begin{align*}x+yw&=(1+\bar w)(a+bw)^3\\z&=a^2-ab+b^2\end{align*}$$由复数对偶性不难发现，这种情形的解仅仅是将`\eqref{2.2}`中的 `x,y` 右端的表达式互换而已，原方程是对称式，故可舍去。

上面两组解形式虽然不同，但都能给出所有满足方程的整数解，这里隐含了一个简单的代数恒等式$$x^2-xy+y^2=(x-y)^2-(x-y)x+x^2\tag{3}$$若将 `\eqref{2.2}` 中的变量 `x,y,z` 用新的符号 `X,Y,Z` 来表示，两组解之间的变换关系为$$X=x-y,\;Y=x,Z=z$$即可得到上述结论。

hujunhua

@kastin 不够严密，得到的结果应该也不是通解，只是部分解吧。

kastin

@hujunhua 能否帮助完善一下，或指出问题可能在哪？我感觉可能是唯一分解不一定成立。

hujunhua

`Z(\omega)`的唯一分解是没有问题的。
问题在于方程不是齐次的，所以要先作因子分析。

如果方程是齐次的，那么就不妨假定`\gcd(x,y,z)=1`求出本原解，然后通乘一个系数得通解。
但现在是非齐次方程，就不能这样了，过程要麻烦一些，结果也不如齐次的简洁漂亮。

hujunhua

对于本方程来说， `(k^3x,k^3y,k^2z)`也是方程的解，可以认为是非本原解加以排除。

hujunhua

以下只求本原解。

假定`\gcd(x,y,z)=k`,令`x=kx_1,y=ky_1,z=kz_1`，代入原方程，消去显式公因子得\[x_1^2-x_1y_1+y_1^2=kz_1^3\\\gcd(x_1,y_1)=1(本原解假设)\]
记`\omega`为复3次单位根，满足`\omega^2+\omega+1=0, \bar\omega=\omega^2=\omega^{-1}`。
记`\rho=1-\omega`, 系`Z(\omega)`中的最小素数.有`\omega\equiv\bar\omega\equiv1\pmod\rho`.
上述方程在`Z(\omega)`中可化为\[(x_1+y_1\omega)(x_1+y_1\omega^2)=kz_1^3\]因`\gcd(x_1+y_1\omega,x_1+y_1\omega^2)=1`or`\rho`, 如果`k>1`, `k` 不可能单独整除`x_1+y_1\omega`或者`x_1+y_1\omega^2`,
`k`必须分解为`(a+b\omega)(a+b\omega^2)`,使得`a+b\omega|x_1+y_1\omega, a+b\omega^2|x_1+y_1\omega^2`
于是可以令`x_1+y_1\omega=(x_2+y_2\omega)(a+b\omega)`代入上式得\[x_2^2-x_2y_2+y_2^2=z_1^3\\\gcd(x_2,y_2)=1\](余暂略)

hujunhua

最后的方程在\(Z(\omega)\)中化为\[(x_2+y_2\omega)(x_2+y_2\omega^2)=z_1^3\]由于\(\gcd(x_2+y_2\omega,x_2+y_2\omega^2)=1\)(注：若有公因子$\rho$,则归入$a+b\omega$和$a+b\omega^2$),
所以\(x_2+y_2\omega\)和\(x_2+y_2\omega^2\)必定都是立方伴数。令\[x_2+y_2\omega=\varepsilon(c+d\omega)^3,(\varepsilon=\pm1,\pm\omega,\pm\omega^2)\]展开右边，左右比较系数得到4#的结果\[ \begin{split}&x_2=c^3+d^3-3cd^2,&\quad y_2=3cd(c-d),&\quad (\varepsilon=1)\\&x_2=3cd(d-c),&\quad y_2=c^3+d^3-3c^2d,&\quad (\varepsilon=\omega)\\&x_2=-(c^3+d^3-3c^2d),&\quad y_2=-(c^3+d^3-3cd^2),&\quad (\varepsilon=\omega^2)\end{split}\]以及相应的`(-x_2,-y_2)`, 然后再由\[x_1=ax_2-by_2,y_1=bx_2+(a-b)y_2,z_1=c^2-cd+d^2\\k=a^2-ab+b^2\]最终得到通解\[x=kx_1,y=ky_1,z=kz_1\]作为本原解，这里要求$\gcd(a,b)=\gcd(c,d)=1, k$不含立方因子，\(c+d\not\equiv0\pmod{3}\)。