x^2-xy+y^2=z^3

hujunhua

1、`z`总是正数。对于给定的`z`, 任一解`(x,y)`都属于一个12元的共轭解组。
滤掉对称解`(y,x)`和相反数解`(-x,-y)`, 可以缩编为一个三元的共轭解组`\{(x,y),(y-x,-x),(-y,x-y)\}`。
过滤时适当选择，可使组内三解之和等于`(0,0)`.  这从楼上的公式中看得出来，根源在于`1+\omega+\omega^2=0`
列出方程的本原解时可以按三元组一行来排列。
2、对于本原解`(x,y,z)`，有`9\nmid z`，并且`3\mid z`时则同时有`3\mid x,3\mid y`.
3、对于本原解`(x,y,z)`，`z`不含3m+2型的素因子。
4、本原解`(x,y,z)`的最大公约数`\gcd(x,y,z)`不含立方因子。

hujunhua

将2楼给出的解滤掉非本原解，按共扼关系分组重排后如下（补充了漏掉的z=97）：
z=1:  {{1,1}, {0,-1}, {-1, 0}}
z=3:  {{3,6}, {3,-3}, {-6, -3}}
z=7:  {{1,19}, {18, -1}, {-19, -18}}
z=7:  {{7,21}, {14, -7}, {-21, -14}}
z=13: {{13,52}, {39,-13}, {-52, -39}}
z=13: {{17,53}, {36,-17}, {-53, -36}}
z=19: {{17,90}, {73, -17}, {-90, -73}}
z=19: {{38,95}, {57,-38}, {-95, -57}}
z=21: {{21,105}, {84, -21}, {-105, -84}}
z=21: {{51, 111},{60, -51}, {-111, -60}}
z=31: {{31,186}, {155, -31}, {-186, -155}}
z=31: {{90,199}, {109, -90}, {-199, -109}}
z=37: {{71,252},{181,-71},{-252,-181}},
z=37: {{111,259},{148,-111},{-259,-148}}
z=39: {{57,267},{210,-57},{-267,-210}},
z=39: {{78,273},{195,-78},{-273,-195}}
z=43: {{43,301},{258,-43},{-301,-258}},
z=43: {{126,323},{197,-126},{-323,-197}}
z=49: {{37,360},{323,-37},{-360,-323}},
z=49: {{112,385},{273,-112},{-385,-273}},
z=49: {{147,392},{245,-147},{-392,-245}}
z=57: {{57,456},{399,-57},{-456,-399}},
z=57: {{168,489},{321,-168},{-489,-321}}
z=61: {{179,540},{361,-179},{-540,-361}},
z=61: {{244,549},{305,-244},{-549,-305}}
z=67: {{134,603},{469,-134},{-603,-469}},
z=67: {{251,629},{378,-251},{-629,-378}}
z=73: {{73,657},{584,-73},{-657,-584}},
z=73: {{216,703},{487,-216},{-703,-487}}
z=79: {{127,757},{630,-127},{-757,-630}},
z=79: {{237,790},{553,-237},{-790,-553}}
z=91: {{14,875},{861,-14},{-875,-861}},
z=91: {{91,910},{819,-91},{-910,-819}},
z=91: {{195,949},{754,-195},{-949,-754}},
z=91: {{270,971},{701,-270},{-971,-701}},
z=91: {{286,975},{689,-286},{-975,-689}},
z=91: {{359,990},{631,-359},{-990,-631}},
z=91: {{385,994},{609,-385},{-994,-609}},
z=91: {{455,1001},{546,-455},{-1001,-546}}
z=93: {{57,924},{867,-57},{-924,-867}},
z=93: {{372,1023},{651,-372},{-1023,-651}}
z=97: {{269,1061},{792,-269},{-1061,-792}},
z=97: {{291,1067},{776,-291},{-1067,-776}}

hujunhua

记 `p, q` 皆是`6m+1`型素数，观察上述本原解组的数量分布可知，
`z=1,3`时，各有一组解
`z=p`或者`3p`时，方程有两组解
`z=pq`时，方程有8组解
`z=p^2`时，方程有3组解
下面探究`z=rp_1^{t_1}p_2^{t_2}\cdot\dots\cdot p_n^{t_n}`,(`r`=1或者3）时本原解的组数。

按10#的本原解通解公式，对于给定的`z`, 不同的解对应于`z`的因子在`k`与`z_1`间分配时的不同组合。
由于3只能配给`k`, 不能配给`z_1`, 并且3是`\rho^2`的伴数，不影响`a+b\omega`, 所以因子3的有无不引起解数变化。故可以限于研究`r=1`的情况：\[z=p_1^{t_1}p_2^{t_2}\cdot\dots\cdot p_n^{t_n}\]

hujunhua

1、`z=p^t`, `p=(e+f\omega)(e+f\omega^2)`, 记`w=e+f\omega, \bar w=e+f\omega^2`

因`k`不含立方因子，所以`t\ge2`时，只有以下3解：
`k=1, z_1=p^t`,这时`a=1, b=0`, `c+d\omega=w^t`
        注：为了保持`\gcd(c,d)=1`, `z_1`的`2t`个素因子`w`和`\bar w`分配一半给`c+d\omega`时只能选择同一个素因子。下同。
`k=p，z_1=p^{t-1}`, 这时`a+b\omega=w`, `c+d\omega=w^{t-1}`
        注： 由于`\gcd(x_1,y_1)=1`, 所以`a+b\omega`与`c+d\omega`不能有互为共轭复数的因子，故`a+b\omega`取`w`时，`c+d\omega`不能取`\bar w^{(t-1)}`. 下同。
`k=p^2，z_1=p^{t-1}`, 这时`a+b\omega=w^2`, `c+d\omega=w^{t-2}`

hujunhua

2、`z=p_1p_2`, `p_1=w_1\bar w_1, p_2=w_2\bar w_2`,这里`w_i=e_i+f_i\omega`

这是`z`有两个不同素因子的最简情况，先把它为什么有8组解搞清楚。

1)`k=1, z_1=p_1p_2`时,  `a=1,b=0`唯一, `c+d\omega`可有4种组合：`w_1w_2,w_1\bar w_2,\bar w_1w_2,\bar w_1\bar w_2`
        其中`w_1w_2`与`\bar w_1\bar w_2`，`w_1\bar w_2`与`\bar w_1w_2`各成共轭复数对，在`a=1,b=0`时导致对称解，只能二取一。
        故此种情况实有两组解。
2)`k=p_1, z_1=p_2`时，`a+b\omega=w_1`, `c+d\omega`可有两选：`w_2`和`\bar w_2`.
3)`k=p_2, z_1=p_1`时，`a+b\omega=w_2`, `c+d\omega`可有两选：`w_1`和`\bar w_1`
4)`k=p_1p_2,z_1=1`时，`c=1, d=0`唯一，但`a+b\omega`可有4种组合：`w_1w_2,w_1\bar w_2,\bar w_1w_2,\bar w_1\bar w_2`
        同1)，共轭复数对二选一，实为两解。

所以总共有8组解。

hujunhua

3、对任意`z>1, \gcd(p,z)=1`, 有\[f(pz)=4f(z)=2f(p)f(z)\\f(p^2z)=6f(z)=2f(p^2)f(z)\]
证明：一、`f(pz)=4f(z)`
        记`z'=pz`, `z'`方程的解可分为两类，1) `k'=pk, z'_1=z_1`, 2) `k'=k, z'_1=pz_1`
都对应于`z`方程的由`k, z_1`引导的解。设`p=u\bar u, k=v\bar v, z_1=w\bar w`, `k'=v'\bar v', z'_1=w'\bar w'`
那么第1)类解有两选： `v'=uv`和`v'=\bar uv`, 第2)类解亦有两选： `w'=uw`和`w'=\bar uw`
所以  `f(pz)=4f(z)`.
        二、`f(p^2z)=6f(z)`
        记`z'=p^2z`, `z'`方程的解可分为3类，1) `k'=p^2k, z'_1=z_1`, 2) `k'=pk, z'_1=pz_1`, 3)`k'=k, z'_1=p^2z_1`
第 1) 类解有两选： `v'=u^2v`和`v'=\bar u^2v`,
第 2) 类解有两选： `v'=uv, w'=uw`和 `v'=\bar uv, w'=\bar uw`,
     (另外两个组合   `v'=uv, w'=\bar uw`和 `v'=\bar uv, w'=uw`不可选的原因同16#之`k=p`的情形。）
第 3) 类解有两选： `w'=u^2w`和 `w'=\bar u^2w`
所以  `f(p^2z)=6f(z)`

至此，可得本原解组数公式如下：\[f(z)=f(p_1^{t_1}\cdot p_2^{t_2}\cdot\dots\cdot p_n^{t_n})=2^{n-1}\cdot f(p_1^{t_1})\cdot f(p_2^{t_2})\cdot\dots\cdot f(p_n^{t_n})=2^{n-1}\cdot2^l\cdot3^m=\frac{6^m4^l}2\]这里诸幂指 `t_i` 中有 `m` 个大于1，`l` 个等于1。

4、由上述公式可知，对于任意`z_1>1, z_2>1`, 且`\gcd(z_1,z_2)=1`, 有\[f(z_1z_2)=2f(z_1)f(z_2)\]`f(z)`的这种非完全准积性由\(w_1\bar w_1=z_1^3\)，\(w_2\bar w_2=z_2^3\)蕴含\[(w_1w_2)(\bar w_1\bar w_2)=(w_1\bar w_2)(\bar w_1w_2)=(z_1z_2)^3\]可见端倪。

hujunhua

5. 容易证明，若 `z` 含 `n` 个`1\pmod{6}`型素因子, 则`\gcd(x,y,z)=1`的解组数为 `g(z)=2^{n-1}`.
    由此可导致本原解组数公式的另一种证明途径。

仿上楼同样有       `g(z_1z_2)=2g(z_1)g(z_2)`.

hujunhua

本原解的 z 序列是A034017：
        1, 3, 7, 13, 19, 21, 31, 37, 39, 43, 49, 57, 61, 67, 73, 79, 91, 93, 97, 103, 109, 111, 127,...
滤掉其中3的倍数后即A004611：
        1, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 49, 61, 67, 73, 79, 91, 97, 103, 109, 127, 133, 139, 151, 157，...

已将9#~16#， 尤其是16#我能发现的输入错误都改过来。若还有表达不清或者错误，请坛友们指正。

hujunhua

有兴趣的可以对比一下方程`x^2+y^2=z^3`, 看看两者的差别有多大。

282842712474

hujunhua 发表于 2017-3-17 15:54
有兴趣的可以对比一下方程`x^2+y^2=z^3`, 看看两者的差别有多大。

设`u=x+yi`，则`u\bar{u}=z^3`，设`p|u`，`p` 是 `Z(i)` 中的素数，则`\bar{p}|\bar{u}`，`\bar{p}`也是`Z(i)`中的素数。则`p\bar{p}|z^3`，但`p\bar{p}`是`{Z}`中的素数，所以`p\bar{p}|z`，故`p^3 \bar{p}^3|z^3`，即`p^3 \bar{p}^3|u\bar{u}`。

这表明（貌似不够显然？），`u=(a+bi)^3`，`a+bi\in Z(i)`，从而
``\begin{aligned}&x=a^3-3ab^2\\&y=3a^2 b - b^3\end{aligned}``