6次方和 欧拉猜想

alt

\(a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=f^6\)是否有整数解？有没有\(f<10^6\)的整数解？
如果考虑\(f<10^6\)的情况，如何设计算法求解？
如果\(\gcd(a,b,c,d,e,f)=1\)，等式两边模7，可以得出的一个必要条件是：
\(7|a, 7|b, 7|c, 7|d\)
\(7^6|(f^6-e^6)\)
还能推出其他的限制条件吗？

mathe

首先条件可以简化为$f -= e (mod7^6)$
然后两边模9，可以得出$f -= e(mod 3^5)$,或$f -= d (mod 3^5)$

alt

两边模8，也可以得到类似条件

alt

在考虑一些筛选方法。
初步想的是， 令\(m=a^6+b^6\), \(n=c^6+d^6\),
方程化为：    \(m+n=f^6-e^6\)
取`k`个模\(p_1,p_2,...,p_i,...,p_k\)来筛选`e,f`
\(m+n\equiv(f^6-e^6) \pmod{p_i}\)

这个筛选方法的效率取决于\((x^6 \pm y^6)\pmod{p_i}\)的散列程度，选取\(p_i\)非常关键.

alt

mathe 发表于 2017-3-22 16:31
首先条件可以简化为$f -= e (mod7^6)$
然后两边模9，可以得出$f -= e(mod 3^5)$,或$f -= d (mod 3^5)$

推不出$f -= e (mod7^6)$

如果能推出的话，计算量将大减

mathe

alt 发表于 2017-3-22 19:12
推不出$f -= e (mod7^6)$

如果能推出的话，计算量将大减

是的，$f -= e(mod 7)$条件错误，更不用说$f -= e(mod 7^6)$。
仅止于`f^6\equiv e^6 \pmod{7^6}， e\not\equiv0\pmod{7}`. 有以下分解式：\[f^6-e^6\equiv(f-e)(f+e)(f-34967e)(f+34967e)(f-34968e)(f+34968e)\pmod{7^6}\]而`\{\pm e,\pm34967e,\pm 34968e\}\equiv\{\pm e,\pm 2e,\pm 3e\}\pmod{7}`,可见不能得到条件$f -= e(mod 7)$

alt

利用模7的条件，筛选\((e,f)\),\(10^6\)内大约有\(2*10^7\)对\((e,f)\)
利用模8和9的条件可以再筛选掉\(1/3\)

alt

模31也可以得到一个过滤条件

hujunhua

alt 发表于 2017-3-26 10:13
利用模7的条件，筛选\((e,f)\),\(10^6\)内大约有\(2*10^7\)对\((e,f)\)
利用模8和9的条件可以再筛选掉\(1/ ...

再利用模8和模9的条件筛掉的不一定是`(e,f)`对。@mathe在2#时已经注意到了这一点。

alt

可以排除\(\gcd(f,e)=2、3、31\)的情况，同时利用\(2^k, 3^k, 7^k\)为模来筛选\((f,e)\)
筛选后剩下\(590087\)个\((f,e)\)
下一步如何筛选还在考虑中，\((a^6+b^6+c^6+d^6) \mod P_i\) 一般情况下散列结果分布非常均匀，很难筛选。