6次方和 欧拉猜想

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下一步可以考虑\(f^6 = e^6 \mod M, M=8,9,31\)这些情况，这些条件将导致
\(7*2|a,7*2|b,7*2|c,7*2|d\);
\(7*3|a,7*3|b,7*3|c,7*3|d\);
\(7*31|a, 7*31|b, 7*31|c, 7*31|d\)

对模31，它的六次剩余是1,2,4,8,16，允许重复地在这个集合中取4次，和不能等于31，所以在考虑互质解的情况下，\(f^6 = e^6 \mod 31\)将导致\(31*7|a,31*7|b,31*7|c,31*7|d\)，

也可以考虑\(f^6 = e^6 \mod 7^7\)，将导致\(7^2|a,7^2|b,7^2|c,7^2|d\)

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\(10^6\)这个范围应无解

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一个简单粗暴的算法：
首先根据\(f^6=e^6 \mod 7^6\)得到\((f,e)\)，剩下的\((a,b,c,d)\)必定是\(10^6\)内两个7的倍数的数对组成，如果能将这些候选的数对按其六次方和排序，那么对每个特定的\((f,e)\)，我们只需要遍历一遍排完序的数对，即可知道是否有满足条件的\((a,b,c,d)\)。
但是这些数对可能有\((10^6/7)^2\)对，即\(10^{10}\)的数量级，我们不可能在内存里排序，而且就算用外部排序的方法，后面的遍历也是一个大问题。
考虑用多路归并的方法，可以用很少的内存将它们排序，将数对看成\(10^6/7\)路有序数据的归并问题，建立两个堆，一个是大顶堆，一个小顶堆，分别用来从头/尾遍历，头加尾大于\(f^6-e^6\)的话，移动头，大顶堆更新，得到下一个较小的数对；小于的话，移动尾，小顶堆更新，得到下一个较大的数对，这样可以方便地搜索a,b,c,d四个数

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还有若干个加速的办法，另外也在考虑用丢番图方程的某些结论先找点特解。比如考虑如下的丢番图方程
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^6=f^6\)

mathematica

a^6+0^6+0^6+0^6+0^6=a^6

对于这个问题,可以考虑穷举法!