一个概率游戏的最佳策略

mathe

发现还有一个边缘条件需要定义，也就是最后双方分数正好相同的情况，我们可以定义为看成平局。
虽然说由于可以选择的数据是连续的，好像不会出现边缘情况，但是不排除双方争斗的结果会以大概率选择某个固定的数据导致平局的概率大于0.

KeyTo9_Fans

mathe 发表于 2017-4-13 07:45
轮数充分大关键看期望值。
由于每次都是乘上一个数字，不好处理，但是我们可以将数字求对数就简单了，
每次$a~=0.792587$时可以有最大的期望

确实如此。

——————————

轮数为$100$时，模拟了$100$位参赛选手的实战，

参赛选手们的策略如下：

　　第$1$位参赛选手总是选择$0.01$，
　　第$2$位参赛选手总是选择$0.02$，
　　第$3$位参赛选手总是选择$0.03$，
　　……
　　第$100$位参赛选手总是选择$1.00$。

模拟的比赛规则如下：

　　每局比赛进行$100$轮游戏，

　　$100$轮游戏过后，得分高者赢得$1$局比赛，

　　任意两位参赛选手进行$10000$局比赛，

　　在$10000$局比赛中，赢得对方$5001$局比赛则视为击败了对方。

结果第$79$位参赛选手以显著的优势击败了其余的$99$位参赛选手，大获全胜。

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轮数为$1000$时，模拟了$1000$位参赛选手的实战，

参赛选手们的策略如下：

　　第$1$位参赛选手总是选择$0.001$，
　　第$2$位参赛选手总是选择$0.002$，
　　第$3$位参赛选手总是选择$0.003$，
　　……
　　第$1000$位参赛选手总是选择$1.000$。

模拟的比赛规则如下：

　　每局比赛进行$1000$轮游戏，

　　$1000$轮游戏过后，得分高者赢得$1$局比赛，

　　任意两位参赛选手进行$1000000$局比赛，

　　在$1000000$局比赛中，赢得对方$500001$局比赛则视为击败了对方。

结果第$792$位参赛选手和第$793$位参赛选手都以显著的优势击败了其余的$998$位参赛选手，

而第$792$位参赛选手以$500661$比$499339$的微弱优势击败了第$793$位参赛选手，获得了全胜。

以纵轴为玩家$A$的选数，横轴为玩家$B$的选数，颜色为每局比赛玩家$A$的胜率，作出的胜率图如下所示：



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以上结果和mathe在$7$楼的猜想：

　　“每次$a~=0.792587$时可以有最大的期望”

完全一致！

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虽然第$792$位参赛选手以$500661$比$499339$的比分击败了第$793$位参赛选手，

但是这一结果并不表明第$792$位参赛选手的胜率高于第$793$位参赛选手，

因为他们比赛的局数还不够多，这个比分还没有统计显著性。

为了显著区分他们的胜率，我们追加$9900$万局比赛，

也就是加起来一共$1$亿局比赛，结果剧情发生了反转：

　　第$792$位参赛选手以$49975328$比$50024672$的比分输给了第$793$位参赛选手，

　　而且这一结果具有高达$4.93$个标准差的统计显著性，

　　也就是说第$793$位参赛选手才是真正的冠军

zeroieme

长期又固定概率方法就是凯利公式(Kelly formula)
https://zh.wikipedia.org/zh-cn/% ... 9%E5%85%AC%E5%BC%8F
https://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion