关于一个猜想

apollolb2005

记得初中的时候，看到费马大定理(当时还未被证明)的一些说明。
突然间自己也有了一个猜想。
【猜想】
　　对于整数n，关于方程（a0≠a1≠....≠an）
　　a0^n + a1^n + ... + an^n = y^n.
       总有正整数解。

比如 n=1    1^1 = 1^1
         n=2    3^2 + 4 ^2 = 5^2
         n=3    3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3
         n=4    .....

这个问题一直在脑海里有近20年了........
谁能给出个证明，证明这个猜想对或者错呢？

无心人

我想可能在n充分大的时候不成立
猜测的

apollolb2005

n=4,5,6的解 我已经找到。
是不是可以先尝试寻找n<100的解，也许能找出个反例？

无心人

难啊
最小解随n增加会迅速增大到一个不可思议的程度

manthanein

楼主的猜想可能是正确的，因为有人研究过
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation.html
http://oeis.org/A030052
1~15的解都有

manthanein

仔细看了一下，不一样，我错了

manthanein

应该是这个http://oeis.org/A007666

manthanein

楼主说自己找到了n=6的解，我怎么没发现？

manthanein

\(\begin{align*}5^2 &= 3^2 + 4^2 \\
6^3 &= 3^3 + 4^3 + 5^3 \\
353^4 &= 30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4 \\
72^5 &= 19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5 \\
568^7 &= 127^7 + 258^7 + 266^7 + 413^7 + 430^7 + 439^7 + 525^7 \\
1409^8 &= 90^8 + 223^8 + 478^8 + 524^8 + 748^8 + 1088^8 + 1190^8 + 1324^8\end{align*}\)

wayne

这个蛮好有意思的,,跟主题无关, 但还是贴在这吧:
\[3^2+4^2 =5^2\]
\[10^2+11^2+12^2 = 13^2 + 14^2\]
\[21^2+22^2+23^2+24^2 = 25^2+26^2+27^2\]

谁有兴致来揭秘?