这个不等式如何证明?

mathematica

fz=
+a^2*b+a*b^2-2*a*b*c
+b^2*c+b*c^2-2*b*c*d
+a^2*d+a*d^2-2*a*b*d
+c^2*d+c*d^2-2*a*c*d
其中a b c d都是非负数,
如何证明fz>=0呢

问题来源:
http://bbs.emath.ac.cn/thread-9567-1-1.html

我需要的是代数的办法证明
用微积分可以求出驻点,
但是怎么证明有最小值?

zeroieme

穷举法万岁!数值解万岁!mathematica万岁!
以上万岁不能解答你的问题吗？

northwolves

\(\begin{align*}fz&= a^2 b+a b^2-2 a b c+b^2 c+b c^2-2 b c d+a^2 d+a d^2-2 a b d+c^2 d+c d^2-2 a c d \\
&=a^2 b+b c^2-2 a b c+a b^2+a d^2-2 a b d+b^2 c+c d^2-2 b c d+a^2 d+c^2 d-2 a c d \\
&=b(a-c)^2+a(b-d)^2+c(b-d)^2+d(a-c)^2 \\
&=(b+d)(a-c)^2+(a+c)(b-d)^2 \\
&\geqslant 0\end{align*}\)

TSC999

1. Clear["Global`*"];
   
2. fz = a^2 b + a b^2 - 2 a b c + b^2 c + b c^2 - 2 b c d + a^2 d +
   
3.   a d^2 - 2 a b d + c^2 d + c d^2 - 2 a c d; Simplify[fz >= 0,
   
4. Element[{a, b, c, d}, Reals] && a > 0 && b > 0 && c > 0 && d > 0 ]

复制代码

程序运行结果是 True。

但是，如何用 mathematica 实现 3# 那样的化简呢？ 我是不会呀！

mathematica

northwolves 发表于 2017-6-30 20:24
\(fz=
a^2*b+a*b^2-2*a*b*c
+b^2*c+b*c^2-2*b*c*d

给你点一万个赞!原来我分组分错了,难怪搞不定!
看来我是思维定式

chyanog

TSC999 发表于 2017-7-1 22:03
程序运行结果是 True。

但是，如何用 mathematica 实现 3# 那样的化简呢？ 我是不会呀！

1. expr=a^2 b+a b^2-2 a b c+b^2 c+b c^2-2 b c d+a^2 d+a d^2-2 a b d+c^2 d+c d^2-2 a c d;
   
2. SortBy[Subsets[expr,{3}]//Factor,StringLength@*ToString@*InputForm][[1;;4]]
   
3. SortBy[Subsets[expr,{6}]//Factor,StringLength@*ToString@*InputForm][[1;;2]]

复制代码

Output：
{b (a - c)^2, a (b - d)^2, c (b - d)^2, (a - c)^2 d}
{(a + c) (b - d)^2, (a - c)^2 (b + d)}

TSC999

6# 楼上的那个程序，去掉 * 号才能运行，运行的结果是啥意思？

1. expr = a^2 b + a b^2 - 2 a b c + b^2 c + b c^2 - 2 b c d + a^2 d +
   
2.    a d^2 - 2 a b d + c^2 d + c d^2 - 2 a c d;
   
3. SortBy[Subsets[expr, {3}] // Factor,
   
4.   StringLength@ToString@InputForm][[1 ;; 4]]
   
5. SortBy[Subsets[expr, {6}] // Factor,
   
6.   StringLength@ToString@InputForm][[1 ;; 2]]

复制代码

运行结果是：
\( {a b (a+b-2 c),b (a-c)^2,-b c (2 a-b-c),b (a^2+a b+b c)}\)
\( {(a+c) (b-d)^2,(a-c)^2 (b+d)}\)

下面那一行结果正确，两项之和等于原式。
上面那一行共有 4 项，但是不知道为什么与 6# 说的结果不一样了？( 6# 给出的结果是 \(b (a - c)^2 + a (b - d)^2 + c (b - d)^2 + (a - c)^2 d\)，它们的和等于原式，因此变换正确。)

mathematica

northwolves 发表于 2017-6-30 20:24
\(\begin{align*}fz&= a^2 b+a b^2-2 a b c+b^2 c+b c^2-2 b c d+a^2 d+a d^2-2 a b d+c^2 d+c d^2-2 a c d ...

请问,你没有用计算机,你是如何证明的?你是怎么想到的?